公共基础力学精讲班第五章材料力学十二1532063201504

环球网校学员专用资料第1页/共9页（四）梁的正应力强度条件在危险截面上或式中[σ]——材料的许用弯曲正应力；[σt]-材料的许用拉应力；[σc]——材料的许用压应力；——最大拉应力和最大压应力所在的截面边缘到中性轴z的距离。例12（2011年、2017年真题）悬臂梁AB由三根相同的矩形截面直杆胶合而成，材料的许可应力为[σ]，若胶合面开裂，假设开裂后三根杆的挠曲线相同，接触面之间无摩擦力，则开裂后的梁承载能力是原来的()。A．1/9B．1/3C．两者相同D．3倍解：开裂前三根杆是一个整体，共同承载M可得开裂后每根杆独自承载环球网校学员专用资料第2页/共9页可见梁的承载能力是原来的1/3。答案：B五、弯曲剪应力与剪应力强度条件（一）矩形截面梁的剪应力两个假设：(1)剪应力方向与截面的侧边平行。(2)沿截面宽度剪应力均匀分布(见图)。计算公式式中Q-横截面上的剪力；b-横截面的宽度；Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩；——横截面上距中性轴为y处横线一侧的部分截面对中性轴的静矩。最大剪应力发生在中性轴处（二）其他常用截面梁的最大剪应力工字形截面其中，d为腹板厚度，工字型钢中，可查型钢表。环球网校学员专用资料第3页/共9页2017—65真题梁的横截面为图示薄壁工字形，z轴为截面中性轴，设截面上的剪力竖直向下，该截面上的最大弯曲切应力在（）。（A）翼缘的中性轴处4点（B）腹板上缘延长线与翼缘相交处的2点（C）左侧翼缘的上端1点（D）腹板上边缘的3点提示：矩形截面切应力的分布是一个抛物线形状，最大切应力在中性轴z上，下图所示梁的横截面可以看作是一个中性轴附近梁的宽度b突然变大的矩形截面。根据弯曲切应力的计算公式当b突然变大的情况下，中性轴附近的τ突然变小，切应力分布图沿y方向的分布如右图所示，所以最大切应力应该在2点。圆形截面环形截面环球网校学员专用资料第4页/共9页最大剪应力均发生在中性轴上。（三）剪应力强度条件梁的最大工作剪应力不得超过材料的许用剪应力，即式中的——全梁的最大剪力；——中性轴一边的横截面面积对中性轴静矩；——横截面在中性轴处的宽度；——整个横截面对中性轴的惯性矩。六、梁的合理截面梁的强度通常是由横截面上的正应力控制的。由弯曲正应力强度条件σmax=，可知，在截面积A一定的条件下，截面图形的抗弯截面系数越大，梁的承载能力就越大，故截面就越合理。因此就而言，对工字形、矩形和圆形三种形状的截面，工字形最为合理，矩形次之，圆形最差。此外对于[σt]=[σc]的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，使截面上、下边缘的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，对于[σt]≠[σc]硝的脆性材料，一般采用不对称于中性轴的截面，如T形、冂形等，使最大拉应力σtmax和最大压应力σcmax同时达到[σt]和[σc]，如图所示。【真题解析】2014—68（2014年真题）梁的横截面可选用图示空心矩形、矩形、正方形和圆形四种之一，假设四种截面的面积均相等，载荷作用方向铅垂向下，承载能力最大的截面是环球网校学员专用资料第5页/共9页A.空心矩形B.实心矩形C.正方形D.圆形答案：A提示：由梁的正应力强度条件·IzmaxmaxMy][WMzmaxmax可知，梁的承载能力与梁横截面惯性矩Iz（或wz）的大小乘正比，当外荷载产生的弯矩Mmax不变的情况下，截面惯性矩（或wz）越大，其承载能力也越大，显然相同面积制成的梁，矩形比圆形好，空心矩形的惯性矩（或wz）最大，其承载能力最大。七、弯曲中心的概念在横向力作用下，梁分别在两个形心主惯性平面xy和xz内弯曲时，横截面上剪力Qy和Qz作用线的交点，称为截面的弯曲中心，也称为剪切中心。当梁上的横向力不能过截面的弯曲中心时，梁除了发生弯曲变形外还要发生扭转变形。弯曲中心的位置仅取决于截面的几何形状和大小，它与外力的大小和材料的力学性质无关。弯曲中心实际上是截面上弯曲剪应力的合力作用点，如表4所示。因此，弯曲中心的位置有以下特点：(1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合。(2)有一个对称轴的截面，其弯曲中心必在此对称轴上。(3)若薄壁截面的中心线是由相交于一点的若干直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心。环球网校学员专用资料第6页/共9页八、梁的变形——挠度与转角（一）挠曲线在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑的弹性曲线，梁弯曲后的轴线称为挠曲线。在平面弯曲下，挠曲线为梁形心主惯性平面内的一条平面曲线v=f(x)，见图。（二）挠度与转角梁弯曲变形后，梁的每一个横截面都要产生位移，它包括挠度和转角两部分。(1)挠度。梁横截面形心在垂直于轴线方向韵线位移，称为挠度，记作v。沿梁轴各横截面挠度的变化规律，即为梁的挠曲线方程，即(2)转角。横截面相对原来位置绕中性轴所转过的角度，称为转角，记作θ。小变形情况下此外，横截面形心沿梁轴线方向的位移，小变形条件下可忽略不计。（三）挠曲线近似微分方程在线弹性范围、小变形条件下，挠曲线近似微分方程为环球网校学员专用资料第7页/共9页式(5-57)是在图所示坐标系下建立的。挠度v向下为正，转角θ顺时针转为正。九、积分法计算梁的变形根据挠曲线近似微分方程(5-57)，积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程其中，积分常数C、D可由梁的边界条件来确定。当梁的弯矩方程需分段列出时，曲线微分方程也需分段建立、分段积分。于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。为了确定全部积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的连续条件（在分点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等）。十、用叠加法求梁的变形（一）叠加原理几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角，等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。（二）叠加原理的适用条件叠加原理仅适用于线性函数。要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满足以下条件：(1)材料为线弹性材料。(2)梁的变形为小变形。(3)结构为几何线性。（三）叠加法的特征(1)各荷载同时作用下的挠度、转角等于各荷载单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。(2)梁在简单荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册，参见表5。环球网校学员专用资料第8页/共9页(3)叠加法适宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。（2011年、2017年真题）矩形截面简支梁梁中点承受集中力F。若h=2b，分别采用图(a)图(b)两种方式放置，图(a)梁的最大挠度是图(b)梁的()。环球网校学员专用资料第9页/共9页(A)0.5倍(B)2倍(C)4倍(D)8倍提示：承受集中力的简支梁的最大挠度与惯性矩I成反比。而，因图a梁Ia是Ib的1/4，故图a梁的最大挠度是图b梁的4倍。答案：(C)