公共基础数理化精讲班第一章高等数学一1531878962529

环球网校学员专用资料第1页/共4页第1章空间解析几何第一节：向量的概念及运算1.有关概念（1）向量是有大小又有方向的量。（2)向量的坐标：设向量a的起点为),,(111zyxA，终点为),,(222zyxB，则212121(,,)aABxxyyzz(,,)xyzaaa（3）向量的模：212212212)()()(zzyyxxABa222zyxaaa（4）向量的方向角与方向余弦：向量(,,xyzaaaa)与x轴、y轴、z轴正向的夹角、、叫向量a的方向角)(、、0。coscoscos、、叫做a的方向余弦，有aaaaaazyxcoscoscos、、，)1coscos(cos222（5）单位向量：模为1的向量。1）向量的单位化：与向量a同方向的单位向量aaa102）基本单位向量：与x轴、y轴、z轴同方向的单位向量分别为}1,0,0{,}0,1,0{},0,0,1{kji（6）零向量：模为0的向量。（7）两向量相等：模相等且方向相同，记为ab（8）两向量的夹角：将两向量的起点放在一起，他们所夹的不超过180的角。（9）向量在轴上的投影：向量a在轴u上的投影Prcos(,)ujaaau2.向量的线性运算（1）两向量的和1）定义：},,{zzyyxxbabababa2)运算律：环球网校学员专用资料第2页/共4页交换律abba结合律()()abcabc（2）数与向量相乘1)是数，a是向量，},,{zyxaaaa2)运算律()()()aaa()()aaaabab、3.向量的数量积（点积）1．定义：两向量的数量积是一个数，cos(,)ababab2．坐标表达式：zzyyxxbabababa3．运算律：满足交换律abba分配律()abcabac注：不满足结合律4．两向量垂直的充分必要条件：00xxyyzzababababab5．两向量夹角的余弦公式:cos(,)ababab222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa4.向量的向量积（叉积）1.定义：两向量的向量积是一个向量，记为cab，其模：sin(,)cabab，方向：,cacb且符合右手规则。2．坐标表达式:zyxzyxbbbaaakjibakbabajbabaibabaxyyxxzzxyxzy)()()(3．运算律：满足分配律()abcabac环球网校学员专用资料第3页/共4页注：不满足交换律，有abba，也不满足结合律。4.两向量平行（共线）的充分必要条件：//0yxzxyzaaaabababbbb【例题1-1】设,均为非零向量，则下面结论正确的是：(A)0是与垂直的充要条件(B)0是与平行的充要条件（C）0是与平行的充要条件(D)若(是常数），则0解：0是与平行的充分必要条件，应选C。【例题1-2】设kji32,kji23,与,都垂直的单位向量为:(A))(kji(B))(31kji(C))(31kji(D))(31kji解:由向量积定义知，，，故作向量,的向量积,再单位化则可.由于231321kji)(5kji,取ijk，再单位化得)(31kji,故应选(D).【例题1-3】设,ab都是向量，下列说法正确的是（）。（A）22()()ababab（B）2()aabab（C）()()ababaabb（D）222()abab解：由于向量的数量积不满足结合律，（B）和(D)选项不成立，再由于向量的向量积不满足交换律，(C)选项也不成立；而22()()ababaabaabbbab，故选（A）环球网校学员专用资料第4页/共4页【例题1-4】若向量,满足2,2，且2,则等于：A.2B.22C.22D.不能确定解：22cos(,)222，22sin(,)1cos(,)25.向量的混合积（1）定义：三向量的混合积记为()[]abcabc（2）计算：[]xyzxyzxyzaaaabcbbbccc（3）性质：1）][][][cabbacabc2）三向量abc、、共面[]0xyzxyzxyzaaaabcbbbccc【例题1-5】已知3,36,226iajkaijkijk，若,,共面，则a等于：（A）1或2（B）1或2（C）1或2（D）1或2解:由,,共面,则13360226aa，计算行列式可得，4(1)(2)0aa，解得1a和2a，故应选（C）