公共基础数理化精讲班第一章高等数学二十三1534853898418

环球网校学员专用资料第1页/共3页第三节n维向量组1.基本概念（1）定义：n个有次序的数数12,,,naaa构成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ia称为第i个分量，记作12(,,)Tnaaa。若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组。（2）向量组的线性组合由s个n维向量12,,,s及s个数12,,,skkk构成的向量1122sskkk称为向量组12,,,s的一个线性组合，数12,,,skkk称为组合系数。（3）一个向量由一个向量组线性表出如果n维向量能表示成向量组12,,,s的线性组合，即1122sskkk则称可以由12,,,s线性表出（示），或称是12,,,s的线性组合。（4）称向量组1(1,0,,0)T，2(0,1,,0)T，(0,0,,1)Tn，n维基本单位向量组。任一n维向量12(,,)Tnaaa都是n维基本单位向量组的线性组合,且nnaaa2211（5）向量组的线性相关、线性无关对于n维向量组12,,,s，如果存在一组不全为零的数12,,,skkk，使得11220sskkk，则称12,,,s线性相关；如果仅当120skkk时，才有11220sskkk，则称12,,,s线性无关。（6）向量组的极大无关组设有向量组A，如果A中存在r个向量12,,,r，满足1.12,,,r线性无关;2.A中任一个向量都可由12,,,r线性表示环球网校学员专用资料第2页/共3页则称12,,,r是向量组A的极大无关组。一般一个向量组的极大无关组是不唯一的，但极大无关组所含向量的个数r是固定的，并且向量组A中任意r个线性无关的向量都可构成一个极大无关组。【例题10-13】已知向量组12341(3,2,5),(3,1,3),(1,,1),(6,2,6)3TTTT，则该向量组的一个极大无关组是：(A)24,(B)34,(C)12,(D)23,解：显然12,对应坐标不成比例，故线性无关。又31241210,023，所以12,是一个极大无关组，应选C.（7）向量组的秩向量组A的极大无关组所含向量的个数r就是该向量组的秩。一个矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。求一个向量组的秩的方法有两种。一是求出极大无关组，极大无关组所含向量个数就是秩。第二种方法就是将该向量组按列排成一个矩阵，对该矩阵做初等行变换化成行阶梯型，该行阶梯型矩阵非零行的行数就是所求向量组的秩。2．重要结论1）如果向量组A的一个部分组12,,,s线性相关，则向量组A一定线性相关。2)如果向量组A所含向量的个数大于维数，则该向量组一定线性相关。3）向量组12,,,(2)mm线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余1m个向量线性表示。4）如果向量组12,,,m线性无关，而向量组12,,,,m线性相关，则必可由12,,,m线性表示，且表示式唯一。5）如果向量组12,,,s可由向量组12,,,t线性表出，而且st，则12,,,s线性相关.环球网校学员专用资料第3页/共3页6）如果向量组12,,,s线性无关，且它可由12,,,t线性表出，则st。3．向量组线性相关与线性无关的判别定理：n维向量组12,,,m线性相关的充分必要条件是以12,,,m为列向量组的矩阵A（12,,,m）的秩mAR)(。方法1:设12,,,m是一个n维列向量组，构造mn矩阵A（12,,,m），若mAR)(，向量组12,,,m线性相关；若mAR)(，向量组12,,,m线性无关。特别地当nm时，若0A，向量组12,,,m线性相关；若0A向量组12,,,m线性无关。方法2:设有数12,,,skkk，使得11220sskkk根据给定的条件，若能推出12,,,skkk至少有一个不为零，则12,,,s线性相关；若能推出12,,,skkk全为零，则12,,,s线性无关。【例题10-14】若使向量组123(6,,7),(4,2,2),(4,1,0)TTTt线性相关，则t等于：A．5B.5C．2D.2解析：若要123,,线性相关，则行列式123644212(210)0720tt,得5t。答案：B.