公共基础数理化精讲班第一章高等数学二十二1534853882892

环球网校学员专用资料第1页/共3页5．矩阵的秩（1）有关概念1）矩阵的子式：从mn矩阵A中任取k行k列(min{,})kmn，由位于这些行、列交叉处的2k个元素按原顺序构成的k阶行列式称为A的k阶子式。位于矩阵左上角的子式，称为主子式。2）矩阵的秩：矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，记为()rA或()RA。零矩阵的秩规定为0，非零矩阵的秩至少是1。【例题10-10】下列结论中正确的是：A.矩阵A的行秩和列秩可以不等B.秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零C.若n阶方阵A的秩小于n，则该方阵A的行列式必等于零D.秩为r的矩阵中，不存在等于零的1r阶子式解析：因为矩阵的秩就是该矩阵非零子式的阶数，若n阶方阵A的秩小于n，则其n阶子式一定为零，即行列式必等于零，应选C。而任意矩阵的行秩和列秩都是相等；只要有一个r阶子式不为零，矩阵的秩就为r，不要求所有r阶子式均不为零；秩为r的矩阵中，可以存在等于零的1r阶子式。答案：C【例题10-11】已知矩阵100012024A，则A的秩()rA等于：(A)0(B)1(C)2(D)3解：0A，但矩阵A的二阶主子式不为零，故()rA2，应选(C).3）满秩矩阵：设A是mn矩阵，若()rAm，称A为行满秩矩阵；若()rAn，称A为列满秩矩阵。若A是n阶方阵，且()rAn（或0A），称A为满秩矩阵。当A是方阵时满秩与可逆是等价的。（3）与矩阵的秩有关的结论环球网校学员专用资料第2页/共3页1）()()TrArA，)()()(BrArBAr，)}(),(min{)(BrArABr2)若A可逆，则)()(BrABr；若B可逆，则)()(ArABr3)设A为nm矩阵,B为sn矩阵，若0AB，则nBrAr)()(4)若kEBA，则nBrAr)()((其中0k为常数)【例题10-11】设11221211,03112001aABa，则秩()rABA等于：(A)1(B)2(C)3(D)与a的取值有关解：()ABAABE，1102002aBEa是满秩矩阵，显然112211112A的秩为2，故()rABA=2，应选(B)。（4）求矩阵秩的方法：1）利用定义2）用初等行（列）变换把矩阵A变成行阶梯形矩阵，这个行阶梯形矩阵中非零的行的行数就是原矩阵A的秩。【例题10-12】设11121421222412nnnnababababababAababab，其中0,0(1,2,,)iiabin，则矩阵A的秩等于（）。(A)n(B)0(C)1(D)2解：由于矩阵A的所有行都与第一行成比例，将第一行的1()iaa倍加到第(2,,)iin行，可将矩阵环球网校学员专用资料第3页/共3页的第二至第n行都化为零，故秩等于1，应选（C）。