机动车排放污染防治技术政策

环球网校学员专用资料第1页/共7页第五节矩阵的特征值与特征向量1．定义设A是n阶方阵，如果存在数和n维非零向量x，使得Axx成立，则称为A的特征值，x是A对应特征值的特征向量。称行列式AE为A的特征多项式,称0AE为A的特征方程，特征方程的根就是的A的特征值；称矩阵AE为A的特征矩阵，以它为系数矩阵的方程组0)(xAE一定有非零解，它的解就是A对应特征值的特征向量。【例题11-1】已知3维列向量,满足3T，设3阶矩阵TA，则：(A)是A的属于特征值0的特征向量(B)是A的属于特征值0的特征向量(C)是A的属于特征值3的特征向量(D)是A的属于特征值3的特征向量解：因3TA，由特征值、特征向量的定义，是A的属于特征值3的特征向量，故应选(C)。【例题11-2】设A是3阶实对称矩阵，P是3阶可逆矩阵，1BPAP,已知是A的属于特征值的特征向量，则B的属于特征值的特征向量是：(A)P(B)1P(C)TP(D)1()TP解：由是A的属于特征值的特征向量，有=A，而1BP11PAPP1111PAPPPAP所以向量1P是矩阵B的属于特征值的特征向量，应选(B).2．重要结论（1)设为A的特征值，x是属于特征值的特征向量，则矩阵kAaAbE、、2mAA、、环球网校学员专用资料第2页/共7页1*AA、的特征值分别为kab、、21mA、、、，且特征向量都是x。（2）如果12,,,t是矩阵A的互不相同的特征值，则其对应的特征向量12,,,txxx一定是线性无关的。特别地，当A是对称阵时，特征向量12,,,txxx是正交的。【例题11-3】已知n阶可逆矩阵A的特征值为0，则矩阵1(2)A的特征值是:(A)02(B)02(C)012(D)02解：由矩阵特征值的性质，2A的特征值为02，1(2)A的特征值为012，应选(C).【例题11-4】设3,6321为三阶实对称阵A的特征值，属于332的特征向量为,)1,2,1(,)1,0,1(32TT则属于61的特征向量是：(A)T)1,1,1(（B）T)1,1,1(（C）T)2,2,0(（D）T)0,2,2(解：因A为实对称阵，故A属于不同特征值的特征向量是正交的，设Txxx),,(3211，则02121),,(,0101),,(321321313132121xxxxxxxxxxx环球网校学员专用资料第3页/共7页解方程组02032131xxxxx，得，故应选A。该题也可用下面方法求解，记T)1,1,1(1则0121)1,1,1(,0101)1,1,1(3121而其他选项都不满足这个条件，故选A。第六节相似矩阵及矩阵的对角化1．相似矩阵的概念与性质（1)定义:设A、B为两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P使得1PAPB成立，则称矩阵A与B相似，记为BA~。并称可逆矩阵P为将A变为B的相似变换阵。（2)性质:如果BA~,则有①kBABABAkkTT(~,~,~11为正整数)②BEAE,即相似矩阵有相同的特征值。③BA,即相似矩阵行列式的值相等，从而相似矩阵同时可逆或不可逆。④相似矩阵有相同的秩。【例题11-4】已知矩阵111242335A与00020002B相似，则等于：(A)6(B)5(C)4(D)14解：矩阵A和B相似，则有相同的特征值，由2111242(2)(812)0335AE环球网校学员专用资料第4页/共7页解得矩阵A的特征值为1232,6，故有6，应选(A).2．矩阵的相似对角化（1）定义：设A是n阶方阵，若A与对角阵12=相似，则称A可以相似对角化。这时对角阵中对角线上的元素就是A的特征值，而相似变换阵12(,,,)nP的列向量就是A的属于对应特征值的特征向量，即有111A，222A，nnnA（2）重要结论1）n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。2）若A有n个互不相同的特征值，则A可相似对角化。【例题11-5】设三阶方阵A的特征值为1,2,2,它们所对应的特征向量分别为321,,,令),,(321P,则APP1()(A)122;(B)212;(C)122;(D)212解：方阵A有三个互不相同的特征值，故能与对角阵相似。),,(321P为相似变换阵，与A相似的对角阵的对角线元素就是A的特征值1,2,2，其排列顺序与特征向量在),,(321P中的顺序相同，故选A。环球网校学员专用资料第5页/共7页第七节二次型1．基本概念（1)定义：含有n个变量12,,,nxxx的二次齐次函数（即每项都是二次的多项式）221211112121213112222323(,,,)2222nnnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxx2222nnnnnaxxax称为二次型。（2)二次型的矩阵表示:如果取jiijaa，则2ijijijijjijiaxxaxxaxx，于是二次型可表为,1nijijijfaxx。如果记nnijaA)(，12(,,,)Tnxxxx，则有TfxAx，称该式为二次型的矩阵表示。这里有TAA，即A为对称矩阵，称A为二次型f的矩阵，称矩阵A的秩()rA为二次型f的秩，记为()rf。例如：二次型22342fxzxyyz的矩阵120201013A。（3)合同矩阵:设A,B为两个n阶实对称阵阵,如果存在一个可逆矩阵C使得BACCT成立,则称矩阵A与B合同，记为BA。【例题11-6】设1112A，与A合同的矩阵是：(A)1112(B)1112(C)1112环球网校学员专用资料第6页/共7页(D)1112解：取1001C，则TCC，而TCAC1112，故选(A)。2．二次型的标准形和规范形（1）定义：如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项()ijxxij的系数全是零，即2221122TnnfxAxdxdxdx这样的二次型称为标准形。特别地形如22222121TpprfxAxxxxxx标准型，称为二次型的规范形。其中r为A的秩，p为正惯性指数,pr为负惯性指数。（2）结论：任一实二次型f都可经合同变换化为规范形,且规范性是惟一的。3．二次型的正定性及正定矩阵（1)定义：如果实二次型TfxAx对任意一组不全为零的实数1(,)Tnxxx，都有0TfxAx，则称该二次型为正定二次型，正定二次型的矩阵A称为正定矩阵。（2）重要结论：1）合同变换不改变二次型的正定性。2)二次型TfxAx是正定二次型的充分必要条件是：正惯性指数为n或A的特征值都大于零或A的各阶顺序主子式大于零。【例题11-7】要使得二次型222123112213233(,,)2222fxxxxtxxxxxxxx为正定的，则t的取值条件是：(A)11t(B)10t(C)0t(D)1t解：二次型的矩阵为1111112tAt，若二次型为正定，则A各阶顺序主子式必须大于零，由环球网校学员专用资料第7页/共7页11110112tt，得10t；再由101tt，有210t，即11t。综上所述，10t，应选B。