公共基础数理化精讲班第一章高等数学六1531963581346

环球网校学员专用资料第1页/共5页第3章：一元函数的导数和微分第一节导数和微分的概念1.导数的定义（1）定义：设函数)(xfy在0xx的某邻域内有定义，当自变量x在点0x处有增量x时，相应地函数y有增量00()()yfxxfx，如果极限xxfxxfxyxfxx)()(limlim)('00000存在，则称函数)(xfy在0xx可导，并称该极限值为)(xfy在0xx的导数，记为0()fx，即0000()()()limxfxxfxfxx或0000()()()limxxfxfxfxxx左导数：00()limxyfxxxxfxxfx)()(lim00000)()(lim0xxxfxfxx右导数：00()limxyfxxxxfxxfx)()(lim00000)()(lim0xxxfxfxx（2）函数)(xfy在0xx可导的充分必要条件是在该点的左导数)(0'xf与右导数)(0'xf都存在且相等。【例题3-1】设函数221()1,1xfxxaxbx，可导，则必有：（A）1,2ab（B）1,2ab（C）1,0ab（D）1,0ab解：显然函数()fx在除1x点外处处可导，只要讨论1x点则可。由于()fx在1x连续，环球网校学员专用资料第2页/共5页(10)(10)1ffab，22112111(1)limlim111xxxxfxx，011(1)lim1xaxafax，所以1,2ab时，()fx在1x可导，故应选（B）。2.导数几何意义曲线()yfx在点00(,())xfx的切线斜率0()kfx，在点00(,())xfx的切线方程为))((')(000xxxfxfy,法线方程为：)()('1)(000xxxfxfy注意：当00)('xxxf＝时有切线但无斜率，法线为)(0xfy【例题3-2】函数xxy63上切线平行于x轴的点是:(A))0,0((B))1,2((C))24,2(和)24,2((D))2,1(和)2,1(解:由于导数0()fx表达曲线()yfx在点00(,())xfx处切线的斜率，故要求切线平行于x轴的点即是求导数为零的点，由0632xy2x,代入xxy63,得24y,所求点为)24,2(和)24,2(，应选(C).实际中，导数表示变化率，表示速度等。3.高阶导数定义：若函数)(xfy的导函数仍可导，则)(xfy的导数叫做函数)(xfy的二阶导数，记为).(,,22xfdxydy类似可定义三阶及以上导数。4.微分的定义（1）定义：设函数)(xfy在区间I内有定义，,,00IxxIx若函数的增量)()()(00xxAxfxxfy其中A是不依赖于x的常数，则称)(xfy在点0x可微分，xA叫做)(xfy在点0x相应自变环球网校学员专用资料第3页/共5页量增量x的微分，记作dy，即xAdy函数)(xfy在点x的微分称为函数)(xfy的微分，记作)(xdf或dy（2）一元函数可导与可微等价，且有dxxfdy)(第二节导数和微分的计算1.重要公式（1）导数基本公式122()0()(sin)cos(cos)sin(tan)sec(cot)csc(sec)sectan(csc)csccot()ln()11(log)(ln)lnxxxxaCxxxxxxxxxxxxxxxxaaaeexxxax222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxx（2）函数和、差、积、商的求导法则设函数)(xu和)(xv可导，则)()()()()())()(()())(()()()()())()(()()())()((2xvxvxuxvxuxvxuxucxcuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu（3）复合函数的求导法则设)(xu在x处可导，)(ufy在)(xu处可导，则)]([xfy在x处可导，且有dxdududydxdy【例题3-3】函数22yxax在点x的导数是：环球网校学员专用资料第4页/共5页(A)22222axax(B)2212ax(C)222xax(D)22ax解：2222222222222xaxyxaxyaxxaxax，故应选(A)。【例题3-4】21cosyx在x处的导数dxdy是:(A)2sinx(B)221cosxx(C)212sinxx(D)212sinxx解:函数21cosyx是由2,cosyuuv以及1vx复合而成，利用导数基本公式和复合函数求导法则,得21112cos(sin)()dydxxxx再由2sincossin2xxx，有212sindydxxx故应选(C).【例题3-5】lndxdx等于:(A)3/212x(B)2x(C)1x(D)2x解：令tx，则ln2lndxdtdtdx22tx，还可用下面方法求解2lnln()2ln2dxdxdxdxdxdxx答案：B2.求高阶导数注：求高阶导数其实就是逐次求一阶导数，只要会求一阶导数就行了。【例题3-6】已知)(xf是二阶可导的函数,)(2xfey,则22dxyd为:环球网校学员专用资料第5页/共5页(A))(2xfe(B))()(2xfexf(C)))(2()(2xfexf(D))]())((2[22)(2xfxfexf解:dxdy))(2()(2xfexf,22dxyd))(2())(2))((2()(2)(2xfexfxfexfxf=)]())((2[22)(2xfxfexf,故应选(D).