公共基础数理化精讲班第一章高等数学十1532062900465

环球网校学员专用资料第1页/共6页第5章一元函数积分学第一节：不定积分1.不定积分的概念与性质（1）定义：设函数)(xf在区间I上有定义，如果存在函数)x(F，使对任xI，有)x(f)x('F或(dx)x(f)x(dF），则称)x(F为)(xf在区间I上的一个原函数。函数)(xf的原函数全体叫)(xf的不定积分，记作dxxf)(，且有CxFdxxf)()(（C为任意常数）（2）不定积分性质)()(xfdxxfdxdCxfdxxf)()('dxxgdxxfdxxgxfkdxxfkdxxkf)()()]()([)0(,)()(【例题5-1】()fx的一个原函数为2xe，则()fx等于：（A）222(12)xxe（B）22xxe（C）222(12)xxe（D）2(12)xxe解析：22()()2xxfxexe，()fx222(2)2(2)(2)xxxxeexex222(12)xxe答案：A【例题5-2】如果11()xxfxedxeC，则函数)(xf等于（A）x1；（B）21x；（C）x1；环球网校学员专用资料第2页/共6页（D）21x解：两边对x求导，得1121()xxfxeex，所以()fx21x，应选B。2.不定积分的计算（1）基本积分公式CkxkdxCxdxCxxdxln)1(11CxdxxCxxdxarctan12Cxxdxarcsin12CxxdxsincosCxxdxcossinCedxexx)1,0(lnaaCaadxaxxCxdxxxdxtanseccos22Cxdxxxdxcotcscsin22（2）直接积分法直接积分法就是利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的方法。有时还要用到代数和三角函数的恒等式对被积函数进行恒等变形,然后再使用积分公式。【例题5-3】22cos2sincosxdxxx等于：（A）cottanxxC（B）cottanxxC（C）cottanxxC（D）cottanxxC解：22cos2sincosxdxxx=2222cossinsincosxxdxxx2211cottansincosdxdxxxCxx故应选（C）。环球网校学员专用资料第3页/共6页（3）第一类换元积分法（凑微分法）如果被积函数的主要部分是复合函数，例如[()]fx，而余下部分正好是内层函数的导数，既()x，则可将()xdx凑成()dx，再利用积分公式得结果。()[()]()[()]()gxdxfxxdxfxdx()()[()]fuduFuCFxC这种方法最关键的一步是凑微分，为方便大家做题，这里列出几种常用凑微分形式：1）)()(1)(baxdbaxfadxbaxf2）)()(1)(1baxdbaxfandxbaxfxnnnn3）)(ln)(ln)(ln1xdxfdxxfx4）)(sin)(sin)(sincosxdxfdxxxfsin(cos)(cos)(cos)xfxdxfxdx5）)()()(xxxxedefdxefe6）xdxfdxxfx)(2)(1【例题5-4】下列各式中正确的是（C为任意常数）：（A）1(32)(32)2fxdxfxC；（B）(32)(32)fxdxfxC；（C）(32)()fxdxfxC；（D）1(32)(32)2fxdxfxC解：由于()32xx，1(32)2dxdx，有11(32)(32)(32)(32)22fxdxfxdxfxC故应选（A）。【例题5-5】不定积分2331xdxx等于:环球网校学员专用资料第4页/共6页(A)4331(1)4xC(B)133(1)xC(C)2333(1)2xC(D)2331(1)2xC解:22333133331(1)1(1)321(1)xdxdxxCxx，答案：D【例题5-6】若3()fxdxxC,则xdxxfsin)(cos等于:(式中C为任意常数)(A)3cosxC(B)3sinxC(C)3cosxC(D)31cos3xC解:利用第一类换元xdxxfsin)(cos3(cos)coscosfxdxxC,故应选(A).【例5-7】设)(xF是)(xf的一个原函数，则()fxdxx（A）1()2FxC（B）2()FxC（C）2()FxC（D）1()2FxC解：1()fxdxx2()2()fxdxFxC，故应选（C）。（4）分部积分法环球网校学员专用资料第5页/共6页这种方法是利用分部积分公式vduuvudv将无法直接求出原函数的积分udv化为能求出原函数的积分vdu，从而得到结果。分部积分法主要用于以下两种情形：1）当被积函数是对数函数或反三角函数时,必须用分部积分法。这是取被积函数为u，dx就是dv，直接套公式则可。【例题5-8】不定积分arctanxdx等于:(式中C为任意常数)(A)21arctanln(1)2xxxC(B)2arctanln(1)xxxC(C)21ln(1)2xC(D)21arctanln(1)2xxxC解:用分部积分法，有arctanxdx2221(1)arctanarctan121xdxxxdxxxxx21arctanln(1)2xxxC故应选(A).2）当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，可考虑用分部积分法。这时，按“反、对、幂、指、三”的顺序，位于前面的取为u，余下部分为dv。【例题5-9】若2xxedx等于:(式中C为任意常数)(A)21(21)4xexC(B)21(21)4xexC(C)21(21)4xexC(D)21(1)2xexC解:被积函数是幂函数和指数函数的乘积，取221,2xxuxdvedxde，有环球网校学员专用资料第6页/共6页2xxedx222221111[][]2222xxxxxxdexeedxxeeC=21(21)4xexC故应选(A).【例题5-10】若2secx是()fx的一个原函数，则()xfxdx等于：A.tanxCB.tanlncosxxxCC.2sectanxxxCD.2sectanxxxC解析：因2secx是()fx的一个原函数，故有2()secxfxdxxdx，利用分部积分公式，2222secsecsecsectanxdxxxxdxxxxC。答案：D第二节：定积分1.定积分的概念及性质（1）定积分的定义niiibaxfdxxf10)(lim)(说明：1）badxxf)(是一个数值，它只与积分区间],[ba及被积函数)(xf有关，而与积分变量的记号无关。2）规定：baabdxxfdxxf;)()(()0aafxdx（2）定积分的几何意义当()0fx时，badxxf)(表图曲边梯形的面积；一般地，badxxf)(的值等于由x轴、曲线)(xfy及直线bxax,所围曲边梯形面积的代数和（位于x轴上方带正号，位于x轴下方带负号）。