公共基础数理化精讲班第一章高等数学十七1534853645176

环球网校学员专用资料第1页/共10页第二节幂级数1.幂级数及收敛性（1）形如00)(nnnxxa的函数项级数称为泰勒级数，当00x时有0nnnax，称为麦克劳林级数，统称为幂级数。（2）阿贝尔定理：如果幂级数0nnnxa当)0(00xxx收敛，则适合不等式0xx的一切x使幂级数0nnnxa绝对收敛；如果幂级数0nnnxa当0xx时发散，则适合不等式0xx的一切x使幂级数0nnnxa发散。【例题8-7】若幂级数0(2)nnnax在2x处收敛，则此级数在5x处：.（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性不能确定解：由0(2)nnnax在2x处收敛，令2tx，则级数0nnnat在4x处收敛，由阿贝尔定理知级数0nnnat在(4,4)内绝对收敛。当5x时，3t在区间(4,4)内，故绝对收敛，应选（C）。【例题8-8】若幂级数1)12(nnnxa在2x处收敛，则该级数在31x处：（A）发散（B）条件收敛；（C）绝对收敛（D）敛散性不确定解：因113)122(nnnnnnaa收敛，即幂级数1nnnya在3y时绝对收敛。因此，当环球网校学员专用资料第2页/共10页312x，即21x时，级数1)12(nnnxa绝对收敛，故选C。（3）收敛半径1）如果幂级数0nnnxa当Rx时绝对收敛，Rx时发散，则称正数R为其收敛半径。规定：如果幂级数0nnnxa在),(内收敛，则R，如果幂级数0nnnxa仅在0x点收敛，则R=02）收敛半径R的求法1°对标准幂级数0nnnxa，收敛半径1lim||nnnaRa（或1limnnnRa）。注：当lim0nnna时，R=。2°对缺项幂级数02nnnxa（或012nnnxa），则需用比值审敛法，求极限1()lim||()()nnnuxxux，由()1||xxR，则R为收敛半径。（4）收敛区间和收敛域若幂级数0nnnxa的收敛半径为R，则收敛区间为开区间(,)RR。将再Rx代入0nnnax，讨论相应数项级数的收敛性，从而可得收敛域。【例题8-8】下列幂级数中，收敛半径为3R的幂级数是：(A)03nnx(B)03nnnx(C)0213nnnx(D)1013nnnx环球网校学员专用资料第3页/共10页解：对于幂级数1013nnnx，1113limlim313nnnnnnaRa，故应选(D)。【例题8-9】幂级数1(1)3nnnxn的收敛域是：(A)[2,4)(B)(2,4)(C)(1,1)(D)14[,)33解：令1tx，得级数13nnntn，由于113lim313(1)nnnnRn，当3t时，级数11nn发散；当3t时，级数1(1)nnn收敛，收敛域为33t，原级数的收敛域为313x，即24x，故应选(A)2．用间接法求函数的幂级数展开式利用两个重要函数的麦克劳林展开式02,111nnnxxxxx)1,1(02),(,!!!21nnnxnxnxxxe【例题8-10】函数xe展开成1x的幂级数是：(A)0!)1(nnnx(B)0!)1(nnnxe(C)0)1(nnnx环球网校学员专用资料第4页/共10页(D)0)1(nnnex解：1xxeee0!)1(nnnxe，应选(B).【例题8-11】函数1x展开成(2)x的幂级数是：(A)10(2)(1)2nnnnx(B)10(2)2nnnx(C)0(2)2nnnx(D)0(2)nnx解：100111112(2)(1)(1)22(2)222212nnnnnnnxxxxx，应选(A).3.简单的幂级数求和【例题8-12】幂级数11)1(nnnx的和函数是：(A)11x(11)x(B)1xx(11)x(C)1xx(11)x(D)11x(11)x解：这是公比为x首项为x的等比级数，故应选(B)【例题8-13】幂级数1!nnxn的和函数()sx等于：（A）xe（B）1xe环球网校学员专用资料第5页/共10页（C）1xe（D）cosx解：1011!!nnxnnxxenn，故应选C。课后练习：【练习题8-1】已知级数2121()nnnuu是收敛的，则下列结果成立的是：（A）1nnu必收敛（B）11(1)nnnu必收敛（C）1nnu未必收敛（D）1nnu发散【练习题8-2】对正项级数1,nna则1lim1qaannn是此正项级数收敛的：（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件【练习题8-3】正项级数1nna的部分和数列}{nS12()nnSaaa有上界是该级数收敛的（A）充分必要条件（B）充分条件而非必要条件（C）必要条件而非充分条件（D）既非充分又非必要条件环球网校学员专用资料第6页/共10页【练习题8-4】若级数12nna收敛，则级数1nna（A）必绝对收敛（B）必条件收敛（C）必发散（D）可能收敛也可能发散【练习题8-5】下列各级数发散的是：(A)211sinnn(B)11ln(1)nn(C)321(1)nnn(D)1325nn【练习题8-6】下列各级数发散的是：(A)11sinnn(B)11)1ln(1)1(nnn(C)1231nnn(D)nnn1132)1(【练习题8-7】级数121)1(npnn（A）当21P时，绝对收敛（B）当21P时，条件收敛环球网校学员专用资料第7页/共10页（C）当210P时，绝对收敛（D）当210P时，发散【练习题8-8】设),2,1(10nnan，下列级数中绝对收敛的是:(A)1nna(B)1nna(C)21(1)nnna(D)1(1)nnna【练习题8-9】下列命题中正确的是：（A）若1nnu收敛，则11(1)nnnu条件收敛（B）若2121nnnuu收敛，则1nnu收敛（C）若11(1)(0)nnnnuu条件收敛，则1nnu发散（D）若1lim1nnnuu，则1nnu收敛【练习题8-10】下列级数中，绝对收敛的级数是：A．111(1)nnnB.111(1)nnnC．2211nnn环球网校学员专用资料第8页/共10页D.213sin2nnn【练习题8-11】若幂级数0(1)nnnax在2x处收敛，则此级数在1x处：.（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性不能确定【练习题8-12】下列幂级数中，收敛半径为2R的幂级数是：(A)03nnx(B)02nnnx(C)012nnx(D)012nnnx【练习题8-13】设幂级数0nnnax的收敛半径为2，则幂级数10(2)nnnnax的收敛区间是：(A)(2,2)(B)(2,4)(C)(0,4)(D)(4,0)【练习题8-14】幂级数1(1)3nnnxn的收敛域是：(A)[2,4)(B)(2,4)环球网校学员专用资料第9页/共10页(C)(1,1)(D)14[,)33【练习题8-15】级数1(21)nnxn的收敛域是：(A)(1,1)(B)[1,1](C)[1,0)(D)(1,0)【练习题8-16】函数13x展开成(1)x的幂级数是：(A)10(1)(1)2nnnnx(B)10(1)2nnnx(C)01()2nnx(D)0(1)nnx【练习题8-17】将xxf21)(展开为x的幂级数，其收敛域为：（A）)1,1(（B）)2,2(（C）)21,21(（D）),(【练习题8-18】级数1nnx的和函数是：(A)11x(11)x环球网校学员专用资料第10页/共10页(B)1xx(11)x(C)1xx(11)x(D)11x(11)x【练习题8-19】幂级数0(1)2nnnnx在2x的和函数是：A．22xB.22xC．112xD.112x