公共基础数理化精讲班第一章高等数学十六1534853637942

环球网校学员专用资料第1页/共6页第8章无穷级数第一节常数项级数1.基本概念(1)定义：给定数列{nu}，称式子121nnuuunu为常数项无穷级数（简称级数）.(2）收敛与发散：对于级数1nnu，记niinuS1，称{S}n为级数1nnu的部分和数列，如果SSnnlim，则称级数1nnu收敛，其和为S，如果nnSlim不存在，则称级数1nnu发散。(3）绝对收敛与条件收敛：若1||nnu收敛，则称级数1nnu绝对收敛；若1nnu收敛，但1||nnu发散，则称级数1nnu条件收敛.2.基本性质(1）1)0(nnkku与1nnu具有相同敛散性.(2）设Sunn1,1nnv,则1()nnnuv收敛，且1)(nnnSvu(3）在级数的任意位置加、减有限项不改变敛散性,但和会发生变化。(4）收敛级数任意加括号所得的新级数仍收敛，且其和不变。一个级数加括号后所得新级数若发散，则原级数一定发散。一个级数加括号后所得新级数收敛，则原级数可能收敛也可能发散。(5）级数收敛必要条件:若1nnu收敛，则0limnnu如果lim0nnu，则级数1nnu一定发散。3.几个重要结论(1）几何级数02nnnaqaqaqaaq1q时收敛，1;1qqaS时发散.环球网校学员专用资料第2页/共6页(2）调和级数11312111nnn发散(3）P－级数11312111nppppnn1p时收敛，1p时发散.(4）级数1111111(1)1(1)23nnppppnnn1p时)绝对收敛；10p时条件收敛；0p时发散.【例题8-1】级数1nnu收敛的充分必要条件是：（A）lim0nnu；（B）1lim1nnnuru；（C）21nun；（D）limnnS存在（其中12nnSuuu）解：由级数收敛的定义知，部分和数列{}nS的极限limnnS存在，是级数收敛的充分必要条件，故应选（D）。lim0nnu是级数收敛的必要条件，但不是充分条件；1lim1nnnuru和21nun是正项级数收敛的充分条件，但不是必要的。【例题8-2】若级数1nnu收敛，则下列级数中不收敛的是：（A）1nnku（B）1001nnu（C）211()2nnnu；环球网校学员专用资料第3页/共6页（D）150nnu解：由级数1nnu收敛，利用收敛级数的性质知1nnku和1001nnu都收敛；再由21nnu和112nn收敛知211()2nnnu收敛；故应选（D）。事实上，由级数1nnu收敛，有lim0nnu，50limnnu，但级数150nnu发散。【例题8-3】已知级数2121()nnnuu是收敛的，则下列结果成立的是：（A）1nnu必收敛（B）1nnu未必收敛（C）lim0nnu；（D）1nnu发散解：级数2121()nnnuu是由级数11nnnu(-1)加括号而得的级数，故2121()nnnuu收敛，无法得到关于级数1nnu敛散的结果，故应选（B）。该题也可通过举例说明，例如由1(11)n收敛，但级数11n发散;22111()(21)(2)nnn收敛，而211nn也收敛。4.数项级数审敛法(1）正项级数审敛法1）正项级数)0(1nnnuu收敛的充分必要条件是其部分和数列}{nS有上界。2）比较审敛法环球网校学员专用资料第4页/共6页设1nnu和1nnv均为正项级数1°若1nnv收敛，且nnkvu（0,kn从某项开始），则1nnu收敛；2°若1nnv发散，且nnukv（0,kn从某项开始），则1nnu发散。3）比较审敛法的极限形式设1nnu和1nnv均为正项级数，若lvunnnlim，则1°l0时，1nnv与1nnu同敛散2°0l时，若1nnv收敛，则1nnu收敛3°l时，若1nnv发散，则1nnu发散4）比值（根值）审敛法对于正项级数1nnu，若1limnnnuu，则1时收敛；1时发散。对于正项级数1nnu，若limnnnu，则1时收敛；1时发散。注：当1这个方法失效。(2）交错级数审敛法形如1(1)nnnu或11(1)nnnu),2,1,0(nun的级数称为交错级数。若交错级数满足条件：1°1(1,2,)nnuun2°lim0nnu则该交错级数收敛。【例题8-4】下列各级数中发散的是：环球网校学员专用资料第5页/共6页(A)111nn(B)11)1ln(1)1(nnn(C)113nnn(D)nnn1132)1(解：因为12111nnnn，而21nn比11nn少一项，他们有相同的敛散，11nn是112p的p-级数发散，故111nn发散，应选(A).其它三个选项与上题基本相同，都是收敛的。【例题8-5】级数)0()1(1nnnnaa满足下列什么条件时收敛：（A）limnna（B）limnna（C）1nna发散（D）na单调增且limnna解：当na单调增且limnna，时，有1na单调减且1lim0nna，这时)0()1(1nnnnaa收敛，故选D。【例题8-6】下列级数中，条件收敛的是：(A)1(1)nnn(B)31(1)nnn(C)1(1)(1)nnnn环球网校学员专用资料第6页/共6页(D)11(1)2nnnn解：因1(1)nnn条件收敛，应选(A).而31(1)nnn和1(1)(1)nnnn绝对收敛，11(1)2nnnn的一般项不趋近于零，发散。