材料力学

注册公用设备工程师(给水排水)执业资格考试《精讲精炼辅导教材》第5章材料力学考试大纲5.1．轴力和轴力图，拉、压杆横截面和斜截面上的应力，强度条件、虎克定律和位移计算，应变能计算。5.2．剪切和挤压的实用计算，剪切虎克定律，切(剪)应力互等定理。5.3．外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图，圆轴扭转切(剪)应力及强度条件，扭转角计算及刚度条件，扭转应变能计算。5.4．静矩和形心，惯性矩和惯性积，惯性矩的平行移轴公式，形心主惯性矩。5.5．梁的内力，剪力图和弯矩图，分布载荷、剪力、弯矩之间的微分关系，正应力强度条件，切(剪)应力强度条件，梁的合理截面，弯曲中心概念，求梁变形的积分法、叠加法和*卡氏第二定理。*5.6．平面应力状态分析的数值解法和图解法，一点应力状态的主应力和最大切(剪)应力，广义虎克定律，四个常用的强度理论。*5.7．斜弯曲、偏心压缩(或拉伸)、拉-弯或压-弯组合、弯-扭组合变形。5.8．细长压杆的临界力公式，欧拉公式的适用范围，临界应力总图和经验公式，压杆的稳定计算。第一部分：四种基本变形拉压、剪切、扭转、弯曲外力→内力→应力→强度计算↓变形→应变→刚度计算材料的力学性能截面几何性质第二部分：应力状态、强度理论、组合变形第三部分：压杆稳定主要内容主要内容§5.1轴向拉伸与压缩一、受力特点作用在杆两端外力的合力大小相等、方向相反，作用线于杆的轴线相重合。二、变形特点沿杆轴线方向的伸长或缩短。三、轴向拉伸与压缩杆件的内力1、轴力轴向拉压杆横截面上的内力，其作用线与杆轴线重合，称为轴力。规定拉伸时所产生的内力为正的轴力，压缩时所产生的内力为负的轴力。FN=ΣF（截面一侧所有外力）符号规定符号规定：背离截面的所有外力均产生正值的轴：背离截面的所有外力均产生正值的轴力，指向截面的矢量均产生负值的轴力。力，指向截面的矢量均产生负值的轴力。注意注意：基本法和简易法的区别。：基本法和简易法的区别。33、轴力图、轴力图取坐标系：取坐标系：以沿杆长度方向坐标以沿杆长度方向坐标xx表示截面的位表示截面的位置，以垂直于杆轴的坐标置，以垂直于杆轴的坐标FFNN，表示相应截面上，表示相应截面上轴力的大小轴力的大小,,把正值的轴力画在把正值的轴力画在xx轴的上侧。轴的上侧。2、简易法求轴力••简易法求轴力：简易法求轴力：FN=ΣF（截面一侧所有外力）FN1=18-8-4=6kNFN2=-8-4=-12kNFN3=8-18+6=-4kNa2aaADBC6kN18kN8kN4kN112233返回6kN12kN4kN四、横截面上的应力横截面上的应力１、应力大小的度量：•以单位面积上的力来计量。2、应力的单位：•量纲：[力]/[长度]2•国际单位制：N/m2（牛顿/平方米）记作：Pa（帕斯卡）•106N/m2兆帕记为：Mpa•109N/m2千兆帕记为：Gpa3、正应力的符号规定：•与轴力相同，拉伸（+）矢量背离截面•压缩（-）矢量指向截面•拉压杆正应力计算公式的使用条件：1）外力合力作用线必过杆轴线；2）不适于靠近作用点附近的区域；（圣文南原理）3)轴力变化或截面变化时要分段使用。AFN=σ则：拉压杆正应力计算公式：ασσα2cos=返回五、斜截面上的应力五、斜截面上的应力αστα2sin2=结论：①轴向拉压杆件的最大正应力发生在杆的横截面上。②极值最大的剪应力发生在与杆轴线成450角的斜截面上，且最大剪应力是最大正应力的一半。六、六、拉压杆的变形拉压杆的变形(一)纵向变形及其规律1、绝对伸长和相对伸长的关系ＬL1FFLL∆=ε轴向线应变（相对伸长）：轴向伸长量为：∆L＝L1－Ｌ（也称为绝对伸长）线应变２、力与变形之间的关系(拉压虎克定律）·Ｅ叫做拉压弹性模量，简称弹性模量，Ｅ的量纲与应力量纲相同N/m2。·ＥＡ称为杆的抗拉刚度。EALFLN=∆ALFLNα∆EAFLLN=∆Eσε=正应变3、ε的符号规定：•拉伸时，FN为正，∆L伸长，ε为正•正值的应变叫做拉应变。负值的应变叫压应变((二二))、横向变形及其规律若原始尺寸为b，变形后尺寸b1，∆b＝b1-b.EAFLLN=∆FFbb1εεµ'=泊松比横向应变：ε，=∆b/b•由于在轴向拉伸时，轴向伸长，ε0,ε,0.•在轴向压缩时，轴向缩短，ε0,ε,0。εµε×−=,µ一般在０.2至0.5之间。★虎克定律的使用条件：①弹性范围②FN，A为常量，否则需分段使用。例1、图为阶梯形杆，两段杆的截面面积分别为A1=2cm2,A2=4cm2,杆端的荷载F1=5kN，F2=10kN,L=0.5m,材料的弹性模量E=210GPa,试求杆端的水平位移。•解：1、求各段的轴力，并做轴力图F1LLLABDCF22、求各段的变形CD段：FNCD=－5kN5kN5kN1122返回mmEALFLCDCDNCDCD059.0102101025.0105943−=×××××−==∆−F1LLLABDCF25KN5KN•AB段：FNAB=5kN∆LAB=0.03mm3、杆的总变形：∆L=∆LAB+∆LBC+∆LCD=-0.059mmmmEALFLBCBCNBCBC03.0102101045.0105943−=×××××−==∆−BC段：FNBC=-5kNF1LLLABDCF25KN5KN返回七、强度条件、安全系数、许用应力1、极限应力：引起材料发生破坏的应力σ0。2、许用应力：规定出杆件能安全工作的应力最大值[σ]＝σ0／n3、工作应力：构件在荷载作用下产生的应力σ.4、安全系数：（n1）荷载估计难以准确；计算方法带有近似性；材质未必均匀；设备在工程中的重要性。5、强度条件的建立6、强度条件的应用：1）强度校核：已知F，A，[σ],最大工作应力与[σ]比较。2）设计截面：已知F，[σ],则：A≥FN/[σ]。3)确定许用荷载：已知A，[σ],则：FNmax≤[σ]A[]σσ≤=AFNmax+连接件的强度计算包括：1）剪切强度（对铆钉）2）挤压强度（因板和铆钉挤压面相同）剪切面、挤压面5.2剪切例：板宽70mm,主板厚t=20mm,采用d=20mm的铆钉，许用挤压应力[σbs]=200MPa,铆钉许用切应力[τ]=100MPa,板承受轴向拉力F=100kN。求：每侧所需铆钉的个数。•解：搭接：铆钉有一个受剪面，两个挤压面。•对接：铆钉则有两个受剪面，三个挤压面FFF/nF/2nF/2n设：每侧需要n各铆钉•剪切面积：As=πd2/4•由强度条件：Fs/As≤[τ]66242101001010010203×≤××−×πnn=1.59采用两个铆钉1、根据切应力强度条件确定铆钉个数F/nF/2nF/2n2、根据挤压强度条件校核2t1≥t只校核中间面积即可Fbs=F/2Abs=d×tσbs=Fbs/AbsF/2F/4F/4][12510202021010063bsbsMPaσσ=×××=−§5.3扭转1、求扭矩的简便方法•任意截面的扭矩，在数值上等于截面一侧（左侧或右侧）所有外力偶矩的代数和。•T=∑Mi(截面一侧外力偶矩）•正负号规定：•背离截面的外力偶矩矢量产生正值的扭矩。MA=300kN.mMB=500kN.mMC=200kN.m44112233MAMBMCT2=MA=300kNT3=MA-MB=-200kN.m300200ττρρ==TTρρ//IIpp当ρ=Rτmax=TR/Ip引入Wt=Ip/RWt：扭转截面系数τmax=T/Wt剪应力计算公式使用条件：1）圆截面等直杆。2）弹性范围2、剪应力的计算公式ρτρρdA3、极惯性矩及抗扭截面模量的计算（1）、实心圆杆：直径为D•极惯性矩：Ip=πD4/32•抗扭截面摸量Wt=Ip/R=πD3/16ρdρ（2）空心圆杆：ρdρ内外径分别为d、D•Ip=π(D4-d4)/32•令：α=d/D•Ip=πD4(1-α4)/32Wt=Ip/R=πD3(1-α4)/16Ip:[长度]4Wt:[长度]3•单位：m4m34、扭转角的计算ϕ=TL/(GIp)单位：弧度•5.4截面图形几何性质•1、截面对某个轴的静矩，等于截面的面积与截面的形心到该轴垂直距离的乘积。•Sy=A×zcSz=A×yczy0yz2、记住：圆截面:Iz、Ip、Wz、WtWt=2WzIp=2Iz矩形：Iz圆环圆形矩形123bh62bh644dπ323dπzIzW64)1(44απ−D32)1(43απ−DDd=αbayzz0y03、惯性矩的平行移轴公式已知：Iy0、Iz0求：Iy、Iz惯性矩的平行移轴公式：•Iz=Iz0+a2A•Iy=Iy0+b2A11、求剪力和弯矩的简易法、求剪力和弯矩的简易法1)剪力Fs=∑FY（截面一侧的力）2）弯矩：M=∑m（截面一侧的力对矩心之矩）AB2L/3FFYAmmaFYB5.5弯曲梁的内力、应力和位移•弯矩：无论截面的哪一侧，向上的外力均产生正值的弯矩。•当梁上有外力偶时：•截面左侧梁上的外力偶，顺时针时产生正值的弯矩。•截面右侧梁上的外力偶，逆时针时产生正值的弯矩。正负号规定：剪力：截面左段梁上，向上的外力产生正值的剪力，截面右段梁上，向下的外力产生正值的剪力。•2、微分关系•dFs/dx=q(x)dM/dx=FsdM2/dx2=q(x)剪力图中曲线的斜率等于梁上对应点处的荷载集度。弯矩图中曲线的斜率等于梁上对应截面处的剪力。3、微分关系的应用•利用微分关系可画出剪力图和弯矩图，也可检查已画出的内力图的正确性。（1）若在梁的某一段内无分布荷载，q(x)=0•剪力Fs=常量，∴剪力图必为一条水平线，弯矩图为一条斜直线。（2)若梁的某段作用有均布荷载，q(x)=常量•Fs是x的一次函数，∴剪力图必为一条斜直线。•M是x的二次函数，∴弯矩图必为一条抛物线。（3）若分布荷载向上则dFs/dx=q(x)0,F图递增（Ò）M图上凸（∩）。•若分布荷载向下则dF/dx=q(x)0,Fs图递减（Ò）M图上凸（∪）。(4)在集中力作用处，剪力图有突变，突变值等于集中力的大小。弯矩图有折角，集中力压在折角处。•在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的数值，剪力图不变。（5）若梁的某一截面上，Fs=0即dM/dx=0，则在这一截面上，M图取得极值。（6）│M│max不但发生在Fs=0的截面，也有可能发生在集中力作用处、集中力偶作用处或悬臂梁的固定端。例：利用微分关系画内力图②剪力图分段、确定图形形状、找控制点ABD20kNq=2kN/mC6m3m3mFs:M:18kN14kN54kN.m48kN.m2kN解解：①求支反力FYA=18kNFYB=14kN③弯矩图4、弯曲应力•中性轴位置：中性轴必过截面形心且与对称轴相垂直。•弯曲正应力、弯曲切应力zIMy=σbISFzzs∗=τ最大正应力ymax：表示危险点到中性轴的距离。••σ=Mymax/IZ•引入：WZ=IZ/ymax截面对中性轴的弯曲截面模量。••σmax=M/WZ•最大切应力•τmax:矩形τmax=3/2τ平圆形τmax=4/3τ平积分法、迭加法、能量法、图解法、有限差分法、共轭梁法、初参数法5、积分法计算梁的位移基本方程：EIzy”=-M(x)确定积分常数：边界条件、光滑连续条件（1）边界条件①悬臂梁的固定端处•x=0;θ=0y=0②简支梁的支座处•x=0;yA=0;x=L;yB=0(2)光滑连续条件•连续:x=a;y左=y右•光滑:x=a；θ左=θ右•比如：中间铰•x=a;y左=y右FABxABabxcFABxcaa比如:外伸梁B端：x=4；yB=0；y左=y右θ左=θ右AB10KN4m1m66、叠加法计算梁的位移、叠加法计算梁的位移例：计算悬臂梁的挠度yc。解：1、将梁AB看作悬臂梁，在均布荷载q的作用下：•查表：yB=-qa4/8EIθB=-qa3/6EI2、把梁BC看作梁AB的延伸部分，由于BC段未受力的作用，所以这段梁虽然发生位移，但没有变形，仍保持为直线。•由于小变形：yC=yB+θB×a•yc=qa4/8EI+qa4/6EI=7qa4/24EI（↓）AcBaayBθBycατασσσσσα2sin2