流体力学基础6

第一章流体力学基础1.3流体流动的基本方程1.3.2质量衡算方程----连续性方程(1-35)1．连续性方程的积分式    化工生产中大量遇到的是流体在管内的流动，因此，本节以管流为主进行讨论。如图1-14所示为管道内流动示意图。选取如图虚线所示的体积为控制体*，控制面由壁面和两个与流体流动方向相垂直的 流通截面所组成。对该控制体而言，质量守恒定律可以表述成以下形式：(1-29)即(1-30)上式即为管内流动的连续性方程。对于稳定流动，/t=0，上式变为：考虑到同一截面上的流体密度基本上是均匀的，故上式又可进一步化为：根据平均流速的定义，有：(1-31)即(1-32)式1-31、32为管内稳定流动时的连续性方程积分形式。对均质、不可压缩流体，r1=r2=常数，于是式1-31变为：(1-33)可见，对均质、不可压缩流体，平均流速与流通截面积成反比，即面积越大，流速越小；反之，面积越小，流速越大。对圆管，A=pd2/4，d为直径，于是(1-34)如果管道有分支，如图1-15所示，则稳定流动时总管中的质量流量应为各支管质量流量之和，故管内连续性方程为 例1-3一车间要求将20°C水以32kg/s的流量送入某设备中，若选取平均流速为1.1m/s，试计算所需管子的尺寸。若在原水管上再接出一根f159′4.5的支管，如图1-16所示，以便将水流量的一半改送至另一车间，求当总水流量不变时，此支管内水流速度。 解质量流量下面首先分析在x方向上净输出的质量流量。经微元体左侧平面输入的质量流速为rvx，则质量流量为rvxdydz，而经微元体右侧平面输出的质量流速为，质量流量为，因此，x方向上净输出的质量流量为同理，y、z方向上输出的净质量流量分别为和，于是（1-37）在某一时刻t，微元体内质量为rdxdydz，于是，微元体内质量随时间的变化率为：（1-38）将式1-37、38代入式1-36中，并在两边同除以dxdydz得：（1-39）式中u=1.1m/s，m=32kg/s，查得20°C水的密度r=998kg/m3，代入上式，得：0.193m=193mm_______________________________________________________________*所谓控制体是指流体流动空间中任一固定不变的体积，流体可以自由地流经它，控制体的边界面称为控制面，控制面是封闭的表面。控制体通过控制面与外界可以进行质量、能量交换，还可以受到控制体以外的物质施加的力。如果选取控制体来研究流体流动过程，就是将着眼点放在某一固定空间，从而可以了解流体流经空间每一点时的流体力学性质，进而掌握整个流体的运动状况。这种研究方法是由欧拉提出的，称为欧拉法。对照附录，可选取f219′6mm的无缝钢管，其中219mm代表管外径，6mm代表管壁厚度。于是管内实际平均流速为：m/s若在原水管上再接出一根f159′4.5的支管，使支管内质量流量m1=m/2，则：将d1=159-2′4.5=150mm=0.15m，d=219-2′6=207mm=0.207m，u=0.95m/s代入得：m/s2．连续性方程的微分式连续性方程的微分式可由积分式经数学变换得到，也可以根据微元体的质量衡算推得。现采用后一种方法进行推导。将式1-29改写成：(1-36）现取一微元六面体作为控制体，如图1-17a所示，其棱边dx、dy、dz分别平行于三个坐标轴。设流体在任一点（x，y，z）处的速度矢量v沿x、y、z分量分别为vx、vy、vz，流体的密度为r。vx、vy、vz和r均为空间坐标和时间的函数。 将上式展开得：根据随体导数的概念，上式可以写成：（1-40）写成矢量式为：(1-41a)或(1-41b)*式1-40、1-41a、1-41b均为连续性方程的微分形式，它是研究动量、热量、质量传递过程的最基本也是最重要的方程之一。若流体不可压缩，则Dr/Dt=0，式1-40和式1-41a分别变为：（1-42）（1-43）若流体稳定流动，则r/t=0，由式1-39得：（1-44）即（1-45）在某些场合下可能更需要柱坐标系和球坐标系中的连续性方程。这两种坐标系下的连续性方程既可以象前述直角坐标系下的类似推导获得，也可以将rv的散度div(rv)在柱坐标系和球坐标系中的表达式直接代入式1-41b中推得。结果如下（参见图1-17b）：柱坐标系：（1-46）球坐标系：（1-47）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿*diva－－－矢量a的散度，直角坐标系下返回目录上一页化工原理网络教程下一页