三角函数的图象与性质-高考理科数学压轴题分析详解

重点增分专题四三角函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018三角函数的最值及导数·T16三角函数单调性的应用·T10三角函数的零点问题·T152017三角函数的图象变换·T9三角函数的最值·T14余弦函数的图象与性质·T62016三角函数的图象变换与对称性·T7三角函数的图象变换·T14(1)高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上．考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系保分考点练后讲评[大稳定——常规角度考双基]1.[三角函数的定义及应用]在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点1213，513和－35，45，则sin(α＋β)＝()A．－3665B.4865C．－313D.3365解析：选D因为角α，β的终边分别与单位圆交于点1213，513和－35，45，所以sinα＝513，cosα＝1213，sinβ＝45，cosβ＝－35，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝513×－35＋1213×45＝3365.2.[同角三角函数的关系式及应用]若tanα＝12，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C.15D.35解析：选B∵tanα＝12，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－1tan2α＋1＝－35.3.[诱导公式及应用]设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C．0D．－12解析：选A由已知，得f23π6＝f17π6＋sin17π6＝f11π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sin5π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sinπ6＋sin－π6＋sinπ6＝0＋12＋－12＋12＝12.[解题方略]1．同角三角函数基本关系式的应用技巧知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解知弦求切常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝sinαcosα的灵活应用知切求弦通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后用平方关系求解和积转换法如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化巧用“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ2．利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)[小创新——变换角度考迁移]1.[与数列交汇]设an＝1nsinnπ25，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是()A．25B．50C．75D．100解析：选D当1≤n≤24时，an0，当26≤n≤49时，an0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an0；当76≤n≤99时，an0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值．故当1≤n≤100时，均有Sn0.2.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为()A.32B．－32C.3D．0解析：选A由已知程序框图可知，该程序的功能是计算S＝sinπ3＋sin2π3＋sin3π3＋…＋sin2017π3的值．因为sinπ3＝32，sin2π3＝sinπ－π3＝sinπ3＝32，sin3π3＝sinπ＝0，sin4π3＝sinπ＋π3＝－sinπ3＝－32，sin5π3＝sin2π－π3＝－sinπ3＝－32，sin6π3＝sin2π＝0，而sin7π3＝sin2π＋π3＝sinπ3，sin8π3＝sin2π＋2π3＝sin2π3，sin9π3＝sin(2π＋π)＝sinπ，所以函数值呈周期性变化，周期为6，且sinπ3＋sin2π3＋sin3π3＋sin4π3＋sin5π3＋sin6π3＝0.而2017＝6×336＋1，所以输出的S＝336×0＋sinπ3＝32.故选A.3.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A．6m2B．9m2C．12m2D．15m2解析：选B如图，由题意可得∠AOB＝2π3，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝π3，∠DAO＝π6，OD＝12AO＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD＝AO·sinπ3＝4×32＝23，可得弦长AB＝2AD＝2×23＝43.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(m2)．故选B.考点二三角函数的图象与解析式增分考点广度拓展题型一由“图”定“式”[例1](1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0,0φπ)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sin12x＋π4B．f(x)＝2sin12x＋3π4C．f(x)＝2sin14x＋3π4D．f(x)＝2sin2x＋π4(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0,0φπ)的图象与x轴的一个交点－π12，0到其相邻的一条对称轴的距离为π4，若fπ12＝32，则函数f(x)在0，π2上的最小值为()A.12B．－3C．－32D．－12[解析](1)由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点－π2，2，最低点3π2，－2，所以函数的最大值为2，即A＝2.由图象可得，x＝－π2，x＝3π2为相邻的两条对称轴，所以函数的周期T＝2×3π2－－π2＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12.所以f(x)＝2sin12x＋φ.把点－π2，2代入可得2sin12×－π2＋φ＝2，即sinφ－π4＝1，所以φ－π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋3π4(k∈Z)．又0φπ，所以φ＝3π4.所以f(x)＝2sin12x＋3π4，故选B.(2)由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×π4＝π＝2πω，解得ω＝2.因为点－π12，0在函数f(x)的图象上，所以Asin2×－π12＋φ＝0，解得φ＝kπ＋π6，k∈Z，由0φπ，可得φ＝π6.因为fπ12＝32，所以Asin2×π12＋π6＝32，解得A＝3，所以f(x)＝3sin2x＋π6.当x∈0，π2时，2x＋π6∈π6，7π6，∴sin2x＋π6∈－12，1，∴f(x)的最小值为－32.[答案](1)B(2)C[解题方略]由“图”定“式”找“对应”的方法由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝M＋m2，A＝M－m2.(2)T定ω：由周期的求解公式T＝2πω，可得ω＝2πT.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．题型二三角函数的图象变换[例2](1)(2019届高三·湘东五校联考)将函数f(x)＝sinx＋π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能是()A．x＝－π12B．x＝π12C．x＝π3D．x＝2π3(2)(2018·郑州第一次质量测试)若将函数f(x)＝3sin(2x＋φ)(0φπ)图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度，得到g(x)的图象，若函数g(x)是奇函数，则函数g(x)的单调递增区间为()A.kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z)B.kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)C.kπ－2π3，kπ－π6(k∈Z)D.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)[解析](1)依题意知，将函数f(x)＝sinx＋π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数g(x)＝sin12x＋π6的图象．令12x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋2π3，k∈Z，当k＝0时，所得函数图象的一条对称轴的方程为x＝2π3，故选D.(2)由题意知g(x)＝3sin2x＋π3＋φ＝3sin2x＋2π3＋φ，因为g(x)是奇函数，所以2π3＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－2π3＋kπ(k∈Z)，又0φπ，所以φ＝π3，所以g(x)＝3sin(2x＋π)＝－3sin2x，由π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4(k∈Z)，所以函数g(x)的单调递增区间为kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z)．故选A.[答案](1)D(2)A[解题方略]关于三角函数的图象变换的方法沿x轴沿y轴平移变换由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ0，左移；φ0，右移由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k0，上移；k0，下移伸缩变换由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1|ω|倍由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍考点三三角函数的性质增分考点·讲练冲关[典例](1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4(2)设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(－πφ0)．若f(x)＋f′(x)是偶函数，则φ等于()A.π3B．－π3C.π6D．－π6(3)(2018·昆明调研)已知函数f(x)＝sinωx的图象关于点2π3，0对称，且f(x)在0，π4上为增函数，则ω＝()A.32B．3C.92D．6(4)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π[解析](1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－1－cos2x2＋2＝32cos2x＋52，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.(2)f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝2cos3x＋φ＋π3.根据诱导公式，要使f(x)＋f′(x)为偶函数，则φ＋π3＝kπ(k∈Z)，所以k＝0时，φ＝－π3，故选B.(3)因为函数f(x)＝sinωx的图象关于2π3，0对称，所以2ω3π＝kπ(k∈Z)，即ω＝32k(k∈Z)．①又函数f(x)＝sinωx在区间0，π4上是增函数，所以π4≤π2ω且ω0，所