2015高考数学(理)一轮题组训练：7-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是________．解析OA→·OM→＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件x＋y≥2，x≤1，y≤2表示的平面区域，如图所示．可以看出当z＝y－x过点D(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则OA→·OM→的取值范围是[0,2]．答案[0,2]2．(2014·泰安模拟)不等式组y≤－x＋2，y≤x－1，y≥0所表示的平面区域的面积为_____．解析作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由2y＝－x＋2，y＝x－1，得yD＝12，所以S△BCD＝12×(xC－xB)×12＝14.答案143．(2014·杭州模拟)在约束条件y≤x，y≥12x，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋12y的最大值为________．解析由z＝x＋12y，得y＝－2x＋2z.作出可行域如图阴影部分，平移直线y＝－2x＋2z，当直线经过点C时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距最大，此时z最大．由y＝12x，x＋y＝1，解得C点坐标为23，13，代入z＝x＋12y，得z＝23＋12×13＝56.答案564．(2013·陕西卷改编)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．3解析如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6.答案－65．(2013·四川卷改编)若变量x，y满足约束条件x＋y≤8，2y－x≤4，x≥0，y≥0，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是________．解析画出可行域，如图所示．由图可知，当目标函数过A点时有最大值；过B点时有最小值．联立得x＋y＝8，2y－x＝4⇒x＝4，y＝4，故A(4,4)；对x＋y＝8，令y＝0，则x＝8，故B(8,0)，所以a＝5×4－4＝16，b＝5×0－8＝－8，则a－b＝16－(－8)＝24.答案246．(2013·安徽卷)若非负变量x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋2y≤4，则x＋y的最大值4为________．解析根据题目中的约束条件画出可行域，注意到x，y非负，得可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．作直线y＝－x，并向上平移，当直线过点A(4,0)时，x＋y取得最大值，最大值为4.答案47．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x＋3y－6≤0，x＋y－2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．解析如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，∴|OM|min＝|－2|12＋12＝2.答案28．(2014·淮安质检)若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．5解析画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a7.答案[5,7)二、解答题9．(2014·合肥模拟)画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈－52，3，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知－x≤y≤x＋5，－52≤x≤3，且x∈Z，当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；6当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0，目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，这是斜率为－2随z变化的一组平行线，当直线y＝－2x＋2z经过可行域内的点M时，直线y＝－2x＋2z在y轴上的截距2z最大，z也最大．这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8，得x＝4，y＝6，此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．7∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·昆明模拟)已知x，y满足条件x≥0，y≤x，2x＋y＋k≤0(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝________.解析画出x，y满足的可行域如图，联立方程y＝x，2x＋y＋k＝0，解得x＝－k3，y＝－k3，即C点坐标为－k3，－k3，由目标函数z＝x＋3y，得y＝－13x＋z3，平移直线y＝－13x＋z3，可知当直线经过C点时，直线y＝－13x＋z3的截距最大，此时z最大，把C点代入z＝x＋3y，得8＝－k3＋3×－k3，解得k＝－6.经检验，符合题意．答案－682．(2014·临沂一模)已知实数x，y满足不等式组x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，若目标函数z＝y－ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是________．解析作出不等式对应的平面区域BCD，由z＝y－ax，得y＝ax＋z，要使目标函数y＝ax＋z仅在点(1,3)处取最大值，则只需直线y＝ax＋z仅在点B(1,3)处的截距最大，由图象可知a＞kBD，因为kBD＝1，所以a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)．答案(1，＋∞)3．(2013·北京卷)已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足AP→＝λAB→＋μAC→(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．解析AB→＝(2,1)，AC→＝(1,2)．设P(x，y)，由AP→＝λAB→＋μAC→，得x－1＝2λ＋μ，y＋1＝λ＋2μ，故有λ＝2x－y－33，μ＝－x＋2y＋33，又λ∈[1,2]，μ∈[0,1]，故有1≤2x－y－33≤2，0≤2y－x＋33≤1，即3≤2x－y－3≤6，0≤2y－x＋3≤3.9则平面区域D如图中阴影部分所示．由图可知平面区域D为平行四边形，可求出M(4,2)，N(6，3)，故|MN|＝5，又x－2y＝0与x－2y－3＝0之间的距离为d＝35，故平面区域D的面积为S＝5×35＝3.答案3二、解答题4．变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．解由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．10由x＝1，3x＋5y－25＝0，解得A1，225.由x＝1，x－4y＋3＝0，解得C(1,1)．由x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，解得B(5,2)．(1)∵z＝yx＝y－0x－0.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝25.(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.故z的取值范围是[2,29]．(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝－3－52＋2－22＝8.故z的取值范围是[16,64].