点线面关系知识点及练习题合集

//a//ab点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。（2）判定定理：（3）其他方法：//a2.性质定理：//aab二、平面与平面平行1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。（2）判定定理：////abababP//（3）其他方法：aa//;////a//2.性质定理：//ab三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。（2）判定方法①用定义.//abab//a//ab//ab②判定定理:abacbcAbca③推论://aabb（3）性质①abab②ab四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。（2）判定定理aa（3）性质①性质定理laal②lPPAA垂足为Al3lPPAPA“转化思想”面面平行线面平行线线平行面面垂直线面垂直线线垂直求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。例1：在棱长都为1的正三棱锥S－ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是________．例2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________；②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________；③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________；④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________；⑤BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________；例3：已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°，试求OA与平面BOC所成的角的大小．求线线距离说明：求异面直线距离的方法有：(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距离，先作出过a且平行于b的平面，则b与距离就是a、b距离．（线面转化法）．也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解．两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．例：在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和CB1之间的距离。线面平行（包括线面距离）1111ABCDABCD111//BADBCD平面平面例：已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SCSBSA，SG为SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF内的位置关系，并给予证明面面平行（包括面面距离）例1：已知正方体，求证例2：在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和CB1之间的距离．面面垂直例1：已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。例2：已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC。课后作业：一、选择题1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线()A.平行B.相交C.异面D.垂直2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ3.(改编题)设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC()A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等边三角形D.不是A、B、C所述的三角形,,12345,OPAABCDMNABPCMNPADMNCDPDAMNPCD如图，已知矩形所在平面。分别是的中点。（）求证：面（）求证：（）若求证：面4.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B—AD—C，则BD与平面ABC所成角的正切值为()A.2B.22C.1D.335.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ACB所在平面，那么()A.PA＝PBPCB.PA＝PBPCC.PA＝PB＝PCD.PA≠PB≠PC二、填空题：6.正四棱锥S—ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为.7.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.三、解答题11.如图(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，如图(2)，将△ABE沿AE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点.(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由.12.12.如图所示，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0λ1).(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？13.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD.(1)求证：DP⊥平面EPC；(2)问在EP上是否存在点F使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出FPAP的值.参考答案求二面角分析:找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.解：在RtΔSAC中，SA=1，SC=2，∴∠ECA=30，在RtΔDEC中，∠DEC=90，∴∠EDC=60，∴所求的二面角为60。求线线距离解法1：（直接法）如图：取BC的中点P，连结PD、1PB分别交AC、1BC于M、N两点，易证：MNDB//1，ACDB1，11BCDB．∴MN为异面直线AC与1BC的公垂线段，易证：aDBMN33311．小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时，难度较大．解法2：（转化法）如图：∵//AC平面BCA11，∴AC与1BC的距离等于AC与平面BCA11的距离，在1OBORt中，作斜边上的高OE，则OE长为所求距离，∵aOB22，aOO1，∴aBO231，∴aBOOBOOOE3311．小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离．解法3：（转化法）如图：∵平面1ACD//平面BCA11，∴AC与1BC的距离等于平面1ACD与平面BCA11的距离．∵1DB平面1ACD，且被平面1ACD和平面BCA11三等分；∴所求距离为aDB33311．小结：这种解法是线线距离转化为面面距离．解法4：（构造函数法）如图：任取点1BCQ，作BCQR于R点，作ACPK于K点，设xRC，则xaQRBR，KRCK，且222CRCKKR∴2222121xCRKR．则222)(21xaxQK2223131)32(23aaax，故QK的最小值，即AC与1BC的距离等于a33．小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离．解法5：（体积桥法）如图：当求AC与1BC的距离转化为求AC与平面BCA11的距离后，设C点到平面BCA11的距离为h，则1111BCCABCACVV．∵222131)2(4331aaah，∴ah33．即AC与1BC的距离等于a33．小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之．这种方法在后面将要学到．线面平行例：分析1：如图，观察图形，即可判定//SG平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行．观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，FH就是适合题意的直线．怎样证明FHSG//？只需证明H是CG的中点．证法1：连结CG交DE于点H，∵DE是ABC的中位线，∴ABDE//．在ACG中，D是AC的中点，且AGDH//，∴H为CG的中点．∵FH是SCG的中位线，∴SGFH//．又SG平面DEF，FH平面DEF，∴//SG平面DEF．分析2：要证明//SG平面DEF，只需证明平面SAB//平面DEF，要证明平面DEF//平面SAB，只需证明DFSA//，EFSB//而DFSA//，EFSB//可由题设直接推出．证法2：∵EF为SBC的中位线，∴SBEF//．∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴//EF平面SAB．同理：//DF平面SAB，FDFEF，∴平面SAB//平面DEF，又∵SG平面SAB，∴//SG平面DEF．面面平行例一：证明：∵1111-DCBAABCD为正方体，∴BCAD11//，又BC1平面BDC1，故//1AD平面BDC1．同理//11BD平面BDC1．又1111DBDAD，∴平面//11DAB平面BDC1．例二：根据正方体的性质，易证：1111111//////DCBBDACDBADBBD平面平面连结1AC，分别交平面BDA1和平面11DCB于M和N因为1CC和1AC分别是平面ABCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD内，BDAC由三垂线定理：BDAC1，同理：DAAC11∴1AC平面BDA1，同理可证：1AC平面11DCB∴平面BDA1和平面11DCB间的距离为线段MN长度．如图所示：在对角面1AC中，1O为11CA的中点，O为AC的中点∴aACNCMNAM333111．∴BD和CB1的距离等于两平行平面BDA1和11DCB的距离为a33．面面垂直例1：例2：作业：一、选择题：1.D2.C3.C4.B5.C6.解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，故点P的轨迹是△EFG，其周长为2＋6.答案：2＋67.①③④⇒②；②③④⇒①AB是圆O的直径C是圆周上异于A、B的一点BCACPA平面ABCBC平面ABCBCPAAC平面PAC，PA平面PACACPAABC平面PACBC平面PBC平面PAC平面PBC。