牛顿定律习题解答

牛顿定律习题解答习题2—1质量分别为mA和mB的两滑块A和B通过一个轻弹簧水平连接后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数为，系统在水平拉力作用下匀速运动，如图所示。如突然撤去外力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为：［］(A)aA=0，aB=0。(B)aA0，aB0。(C)aA0，aB0。(D)aA0，aB=0。解：原来A和B均作匀速运动，各自所受和外力都是零，加速度亦为零；在突然撤去外力的瞬间，B的受力状态无显著改变，加速度仍为零；而A则由于力的撤消而失衡，其受到的与速度相反的力占了优势，因而加速度小于零。所以应该选择答案(D)。习题2—2如图所示，用一斜向上的力F(与水平成30°角)，将一重为G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力，都能不使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数的大小为：［］(A)21。(B)31。(C)32。(D)3。解：不论用怎样大的力，都不能使木块向上滑动，应有如下关系成立30sin30cosFF即3130tg30cos30sin所以应当选择答案(B)。习题2—3质量相等的两物体A和B，分别固定在弹簧的两端，竖直放在光滑的水平面C上，如图所示。弹簧的质量与物体A、B的质量相比，可以忽略不计。如果把支持面C迅速移走，则在移开的一瞬间，A的加速度大小为aA=，B的加速度大小为aB=。解：此题与习题2—1类似，在把C移走之前，A、B均处于力学平衡状态，它们各自所受的力均为零，加速度亦为零；把C迅速移开的一瞬间，A的受力状态无明显改变，加速度仍然是零；而B由于C的对它的支持力的消失，只受到FXAB习题2―1图案FG30°习题2―2图AB习题2―3图C自身重力和弹簧对它向下的弹性力，容易知道此两力之和为2mBg，因此，B的加速度为2g。习题2─4一水平放置的飞轮可绕通过中心的竖直轴转动，飞轮辐条上装有一个小滑块，它可在辐条上无摩擦地滑动。一轻弹簧的一端固定在飞轮转轴上，另一端与滑块连结。当飞轮以角速度旋转时，弹簧的长度为原来的f倍，已知0时，f=f0，求与f的函数关系。解：设弹簧原长为l0，则有200)1(mflfkl①令0得200000)1(lmffkl②①、②联立得)1()1(02002ffff这就是与f的函数关系。习题2—5质量m=2.0kg的均匀绳，长L=1.0m，两端分别连接重物A和B，mA=8.0kg，mB=5.0kg，今在B端施以大小为F=180N的竖直拉力，使绳和物体向上运动，求距离绳下端为x处绳中的张力T(x)。解；重物A和B及绳向上运动的加速度为2m/s0.20.15100.15180)(mmmgmmmFaBABA在距离绳下端为x处将下半段隔离出来，依牛顿第二定律有ammLxgmmLxTAA)()(代入已知数据即可得到)N(2496)(xxT［注意：在本题的计算中我们取g=10m/s2］习题2—6一名宇航员将去月球。他带有弹簧秤和一个质量为1.0kg的物体A。到达月球上某处时，他拾起一块石头B，挂在弹簧秤上，其读数与地面上挂A时相同。然后，他把A和B分别挂在跨过轻滑轮的轻绳的两端，如图所示。若月球表面的重力加速度为1.67m/s2，问石块B将如何运动？解：设地球上和月球上的重力加速度分别为g和g，物体A的质量和月石B习题2―5图ABFLx习题2―6图案BA的质量分别为m和m，依题意我们有gmkxmgkx因此有kg87.567.10.18.9mggm由题给图示可有amgmTamTgm解得gmmmma代入已知数据可得2m/s18.1a所以，月石B将以1.18m/s2的加速度下降。习题2—7直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成，每一叶片的质量m=136kg，长l=3.66m，求：当它的转速n=320r•min﹣1时，两个叶片根部的张力。(设叶片是宽度一定、厚度均匀的薄片)解：依题意，可设叶片沿长度方向单位长度的质量为kg/m16.3766.3136lm在距叶片根部(O点)r处取长为dr的小段，其质量为drdm该小段可视为质点，其作圆周运动所需的向心力(张力)由叶片根部通过下半段提供，即22)2(nrdrrdmdT整个叶片所需的向心力为lrdrndTT02)2(16.37)60320(14.3466.32142122222nl(N)1079.25所以，叶片根部所受的张力大小与此力相等而方向相反。习题2—8质量为45.0kg的物体，由地面以初速60.0m/s竖直向上发射，物体受到的空气阻力为Fr=kv，且k=0.03N/(m·s–1)。求：(1)物体发射到最大高度所需的时间；(2)最大高度为多少?drrOTd题解2―7图解：(1)取竖直向上为OX轴正方向，地面取为坐标原点。依题意可得物体竖直方向上的牛顿方程dtdmkmgvv①分离变量并积分得tmkdtgd000vvvtmkgmk00)ln(vv所以，物体发射到最大高度所需的时间为s11.68.90.450.6003.01ln03.00.451ln0vmgkkmt(2)由①可得)(vvvmkgdxd分离变量并积分000vvvvmkxgddxm0220lnvmgmkggmkkmxvvmgkmgkgkm00221lnvv8.9456003.01ln8.9456003.08.903.0452m183［此题(2)中的积分需查积分表］习题2—9质量为m的摩托车，在恒定的牵引力F的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是vm。试计算从静止加速到vm/2所需的时间及所走过的路程。解：(1)因为摩托车达到最大速率时应满足其动力和阻力相平衡，即02mvkFfF可以得到2mFkv①dtdmkFvv2②分离变量并积分tmdtkFdm0202vvv可以得到20ln211mkFkFkFkmtvvv把式①代入上式并整理得3ln2Fmtmv(2)由②可得dxdmkFvvv2分离变量并积分2022200)(21mmbabadbddxmkmFxvvvvvvv式中a=F/m，b=k/m。202)ln(21mbabxvv经整理最后可得FmFmxmm22144.034ln2vv［在(1)的计算中需查积分公式表］习题2—10质量为m的雨滴下落时，因受空气阻力，在落地前已是匀速运动，其速率为5.0m/s。设空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，问：当雨滴速率为4.0m/s时，其加速度多大？分析：当空气阻力不能忽略时，物体在空气中下落经历一定的时间以后，将匀速下落，这个匀速下落的速度称为“收尾速度”vT。显然物体达到收尾速度后，其所受合外力为零。解：由题设，空气阻力大小与雨滴速率的平方成正比，可知雨滴达收尾速度时应有02TkmgfmgFvv合由此解得2Tvgmk又因为在雨滴下落的任一时刻都有makmg2v所以)1(22222TTgggmkgavvvvv代入已知数据可得22m/s53.30.50.418.9a习题2─11质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=－kv(k为常数)。证明小球在水中竖直沉降时的速度v与时间t的关系为)1(mktekFmgv解：根据小球受力情况，依牛顿第二定律有dtdmFkmgvv分离变量并积分tmdtkFmgd00vvv最后可)1(tmkekFmgv证毕。习题2─12顶角为2的直圆锥体，底面固定在水平面上，如图所示。质量为m的小球系在绳的一端，绳的另一端系在圆锥的顶点。绳长为l，且不能伸长，绳质量不计，圆锥面是光滑的。今使小球在圆锥面上以角速度绕OH轴匀速转动，求：(1)圆锥面对小球的支持力N和细绳中的张力T；(2)当增大到某一值0时小球将离开锥面，这时0及T又各是多少？解：(1)如图所示，对小球列分量式牛顿方程竖直方向：mgNTsincos①法向：2sincossinmlNT②Ffmg小球水题解2―11图HlO习题2―12图①、②联立得cossinsin2lmmgN22sincoslmmgT(2)离开锥面N=0,由①、②得mgTcossinsin20mlT解得)cos(0lg，cosmgT习题2—13在倾角为的圆锥体的侧面放一质量为m的物体，圆锥体以角速度绕竖直轴匀速转动，轴与物体间的距离为R，如图所示。为了使物体能在锥体该处保持静止不动，物体与锥面间的静摩擦系数至少为多少？并简单讨论所得到的结果。解：物体受到三个力的作用：锥面对物体的静摩擦力f，其方向沿锥面母线向上；锥面对物体的支持力N，方向垂直于锥面；物体自身的重力mg，方向竖直向下。依牛顿第二定律有magmNf该矢量式方程可正交解为两个标量方程沿法线方向：2sincosmRNf①沿竖直方向：mgNfcossin②另外Nf③联立①、②可解得sincoscossin22mRmgNmRmgfgmONT题解2―12图R习题2―13图题解2―13图fgmNR由③可得sincoscossin22RgRgNf