2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-6-第6讲-对数与对数函数

第6讲对数与对数函数1．对数概念如果ax＝N(a0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a0，且a≠1对数式与指数式的互化：ax＝N⇒logaN＝x负数和零没有对数1的对数是零：loga1＝0底数的对数是1：logaa＝1对数恒等式：alogaN＝N运算性质loga(M·N)＝logaM＋logaNa0，且a≠1，M0，N0logaMN＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式公式：logab＝logcblogca(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0)推广：logambn＝nmlogab；logab＝1logba2.对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x1时，y0当0x1时，y0当x1时，y0当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．作出直线y＝1，分别与四个图象自左向右交于点A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)，得到底数的大小关系是：b＞a＞1＞d＞c＞0.根据直线x＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)logax·logay＝loga(x＋y)．()(3)函数y＝log2x及y＝log133x都是对数函数．()(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．()(5)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．()(6)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只经过第一、四象限．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log29)·(log34)＝________．解析：(log29)·(log34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(2)＝________．解析：由题意知f(x)＝log2x，所以f(2)＝log22＝1.答案：13．(必修1P71表格改编)函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.所以函数的图象恒过点(3，1)．答案：(3，1)4．(必修1P82A组T6改编)已知a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则a，b，c的大小关系为________．解析：因为0a1，b0，c＝log1213＝log231.所以cab.答案：cab[易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误；(2)忽视对底数的讨论致误；(3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是________．(填序号)解析：函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有②.答案：②2．函数y＝logax(a0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．解析：分两种情况讨论：①当a1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0a1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝12.所以a＝2或12.答案：2或123．函数y＝log23（2x－1）的定义域是________．解析：由log23(2x－1)≥0，得02x－1≤1.所以12x≤1.所以函数y＝log23（2x－1）的定义域是12，1.答案：12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log212＝______，2log23＋log43＝________．(2)若a＝log43，则2a＋2－a＝________．【解析】(1)log212＝log22－12＝－12；2log23＋log43＝2log23＋12log23＝2log2(3·312)＝33.(2)因为a＝log43＝log223＝12log23＝log23，所以2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝3＋2log233＝3＋33＝433.【答案】(1)－1233(2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log510＋log514＝________，2log43＝________．解析：2log510＋log514＝log5102×14＝2，因为log43＝12log23＝log23，所以2log43＝2log23＝3.答案：232．2(lg2)2＋lg2·lg5＋（lg2）2－lg2＋1＝________．解析：原式＝2(lg2)2＋lg2·lg5＋(1－lg2)＝2(lg2)2＋2lg2·lg5＋1－lg2＝2lg2(lg2＋lg5)＋1－lg2＝lg2＋1－lg2＝1.答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()(2)函数y＝loga(x＋4)－1(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线xm＋yn＝－1上，且m0，n0，则3m＋n的最小值为()A．13B．16C．11＋62D．28【解析】(1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.(2)函数y＝loga(x＋4)－1(a0，a≠1)的图象恒过A(－3，－1)，由点A在直线xm＋yn＝－1上可得，－3m＋－1n＝－1，即3m＋1n＝1，故3m＋n＝(3m＋n)×3m＋1n＝10＋3nm＋mn，因为m0，n0，所以nm＋mn≥2nm×mn＝2(当且仅当nm＝mn，即m＝n时取等号)，故3m＋n＝10＋3nm＋mn≥10＋3×2＝16，故选B.【答案】(1)C(2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a1，c1B．a1，0c1C．0a1，c1D．0a1，0c1解析：选D.由对数函数的性质得0a1，因为函数y＝loga(x＋c)的图象在c0时是由函数y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0c1.2．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则logba＝________．解析：f(x)的图象过两点(－1，0)和(0，1)．则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，所以b－1＝1，b＝a，即b＝2，a＝2.所以logba＝1.答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域；(2)比较对数值的大小；(3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题．角度一求对数型函数的定义域函数f(x)＝log13（4x－5）的定义域为()A.54，＋∞B.－∞，54C.54，32D.54，32【解析】要使函数有意义，应满足4x－50，log13（4x－5）≥0，所以04x－5≤1，54x≤32.故函数f(x)的定义域为54，32.【答案】C角度二比较对数值的大小(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f(log215)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cbaD．cab(2)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．abcB．acbC．bacD．bca【解析】(1)由f(x)是奇函数可得，a＝－flog215＝f(log25)，因为log25log24.1log24＝220.8，且函数f(x)是增函数，所以cba.(2)因为a＝log3πlog33＝1，b＝log23log22＝1，所以ab，又bc＝12log2312log32＝(log23)21，c0，所以bc，故abc.【答案】(1)C(2)A角度三解对数不等式设函数f(x)＝log2x，x0，log12（－x），x0.若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)【解析】由题意，得a0，log2a－log2a或a0，log12（－a）log2（－a），解得a1或－1a0.故选C.【答案】C角度四与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．【解析】(1)因为lg|－x|＝lg|x|，所以函数y＝lg|x|为偶函数，又函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y轴对称可得，y＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有g（1）0，a≥1，即2－a0，a≥1，解得1≤a2，即a∈[1，2)．【答案】(1)B(2)[1，2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．(2)解对数不等式的类型及方法①形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论．②形如logaxb的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．(3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a0，a≠1，函数f(x)＝loga|ax2－x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是()A.16≤a14或a1B．a1C.18≤a14D.15≤a≤14或a1解析：选A.令t＝|ax2－x|，y＝logat，当a1时，外函数为递增函数，所以内函数t＝|ax2－x|，x∈[3，4]，