2010分班数学试题和答案

数学试卷第页共8页1江苏省淮阴中学2010年高一分班考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）题号一二三总分累分人核分人得分一、选择题（每题5分，共40分）1．若1a，化简2(1)1a＝（▲）A．aB．2aC．aD．2a2．从长度为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是（▲）A．12B．34C．23D．133．二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则一次函数abxy的图象不经过（▲）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．方程012xx的解是(▲)A．251B．251C．251或251D．2515．如果22aabb且b是有理数，那么(▲)A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数6．已知三角形的三边是3、4、5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是（▲）A．0,1,2,4,5B．0,1,2,3,4C．0,1,2,4D．0,1,2,3x第3题图yO数学试卷第页共8页27．如果不等式组0809bxax的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有（▲）Ａ．17个Ｂ．64个Ｃ．72个Ｄ．81个8.ΔABC的∠A,∠B皆为锐角,CD是高,已知2()ADACDBBC,则ΔABC是（▲）Ａ．直角三角形Ｂ．等腰三角形Ｃ．等腰直角三角形Ｄ．等腰三角形或直角三角形注意：请将选择题的答案填入表格中。二、填空题（每题5分，共50分）9.如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC度数为__▲___.10.两个圆都以O为圆心，大圆的半径为1，小圆的半径为54，在大圆上取三点A、B、C，使∠ACB=30°，则直线AB与小圆的位置关系为__▲___.11.如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其正视图与左视图均由矩形构成，正视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为__▲___cm.12.在直角坐标系中，A点坐标为（3，2），B点为直线yx上一动点，C点为x轴上一动点，则△ABC周长最小值为__▲___.13.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC上距离B点6㎝的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是__▲___㎝2.题号12345678得分评卷人答案ABGCHK第9题图DEFBACKGPH第13题图实物图正视图左视图10cm10cm30cm第11题图数学试卷第页共8页3第18题图（1）第18题图（2）14.记函数y在x处的值为()fx（例如函数2yx也可记为2()fxx，当1x时的函数值可记为(1)1f）.已知22,0(),0xfxxbxcx，若(4)(0),(2)2fff，则方程()fxx共有__▲___个实数解.15．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴向右滚动一周，则顶点P所经过的路程为_▲______.16.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是▲．17.函数211322yxxtt（t为正整数）的最大值是正整数M，则M=_▲__.18.已知扇形的圆心角为2（定值），半径为R(定值)，分别按图(1),(2)作扇形的内接矩形.若按图（1）作出的矩形面积的最大值为21tan2R，则按图（2）作出的矩形面积的最大值为__▲___.注意：请将填空题的答案填在下面的横线上。9、_10、___11、12、13、___14、___15、_16、___17、18、得分评卷人ABCPOxy第15题图第16题图PCDBEFA数学试卷第页共8页4ADBADEBADFEBADQFEBADPQFEBAD三、解答题（共60分）19．（本题10分）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）得分评卷人数学试卷第页共8页520．（本题12分）如图所示的自动通风设备，其下部ABCD是等腰梯形，其中高为0.5米，1AB米，2CD米，上部CmD是个半圆，固定点E为CD中点，EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆.设MN与AB之间的距离为x米.（1）当MN在下部时，EMN能否成为正三角形？若能，求出x的值；若不能，请说明理由;（2）试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成x的函数关系式.得分评卷人CABMNDEmmABCDEMN数学试卷第页共8页621．（本题12分）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为6cm、9cm、10cm的三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．本（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD的余弦值；（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．．得分评卷人图1CNDBMA图2图3A数学试卷第页共8页722．（本题12分）观察下列不等式12,232334,3445,,（1）请你归纳出一个一般性的结论，并证明你的结论；（2）请用你的结论证明：31473212583131nnn（n为正自然数）.得分评卷人数学试卷第页共8页823．（本题14分）如图，抛物线2yaxbx（0a）与双曲线kyx相交于两点AB、,已知点A的坐标为1,4（），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数,,abK的值；（2）过抛物线上点A作直线//ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.得分评卷人ACBOxy数学试卷第页共8页9ADBADEBADFEBADQFEBAPQFEBH江苏省淮阴中学2010年高一分班考试答案数学试卷一、选择题1、A2、B3、D4、D5、C6、B7、C8、D二、填空题9、3610、相离11、6090312、2613、1442514、315、212（）16、1,2,4,517、718、2Rtan2三、解答题19、因为30,60BEQBFQ,所以30EBF，所以EFBF.又因为60AFP,所以60BFA，在AEF与ABF中，EFBF，AFEAFB,AFAF,所以AEF≌ABF，所以ABAE.（法一）设AF与BE的交点为G，在RtEGF中，因为1EF，所以32EG.在RtEGF中，76AEG，3cos760.243.62AEEG（法二）作AHPQ,垂足为H，设AEx，则sin74,cos74,cos741AHxHExHFxRtAHF中，tan60AHHF，所以sin74cos741tan60xx（），所以3.6,3.6xABkm。答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km数学试卷第页共8页1020、解：（1）当MN在下部时，1(0,)2x，此时，EMN的高12x，12MNx若EMN构成正三角形，则31(12)32xx，13(31)22x，有因为等式左边大于0，等式右边小于0，所以不存在x，使得EMN为正三角形.（2）当1[0,]2x时，11(12)()22Sxx当13(,)22x，221111121()()1()()22222Sxxxx综上所述：2111(12)()02221111()()222xxxSxxx21、（1）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=25∵纸带宽AM=15，∴BM=20∴cos∠DAB=cos∠ABM=204255BMAB．（2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，将图甲种的△ABE向左平移25cm，△CDF向右平移25cm，拼成如图乙中的平行四边形ABCD，此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD由题意得，知：BC=2×cos25125425CDDAB，∴所需矩形纸带的长为MB+BC=1251652022cm（此题也可用面积法直接解决，三棱柱的高11522coshh=15752425ABDCFEBACDFE图甲图乙CNDBMA图2h15L20数学试卷第页共8页11所以7525152L,所以1252L，所以总长为1251652022.22、解（1）11nnmm（0nm）证明：1(1)(1)1(1)(1)nnnmnmmnmmmmmm因为0nm，所以0,(1)0mnmm，所以11nnmm（2）12345632313,,,23456731331nnnnnn，又因为各式数均大于031473214732258313693()()()()25831258313693471031123456732313123456783133131nnnnnnnnnnnnnnn31473212583131nnn（注：学生若归纳出nntmmt，0,0nmt或11mmmm，m为正自然数同样得分，）23、解：（1）因为点A（1，4）在双曲线kyx上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为xy4.设点B（t，4t），0t，AB所在直线的函数表达式为ymxn，则有44mnmtnt，，解得4mt，4(1)tnt.于是，直线AB与y轴的交点坐标为4(1)0,tt，故141132AOBtStt（），整理得22320tt，解得2t，或t＝21（舍去）．所以点B的坐标为（2，2）．数学试卷第页共8页12因为点A，B都在抛物线2yaxbx（a0）上，所以4422abab，，解得13.ab，（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（4，4），于是CO＝42.又BO=22，所以2BOCO.设抛物线2yaxbx（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（3，0）.因为∠COD＝∠BOD＝45，所以∠COB=90.（1）将△BOA绕点O顺时针旋转90，得到△1BOA.这时，点B(2，2)是CO的中点，点1A的坐标为（4，1）.延长1OA到点1E，使得1OE=12OA，这时点1E（8，2）是符合条件的点.（2）作△BOA关于x轴的对称图形△2BOA，得到点2A（1，4）；延长2OA到点2E，使得2OE＝22OA，这时点E２（2，8）是符合条件的点．所以，点E的坐标是（8，2），或（2，8）.（第12题）