简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a）所示，将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。图（a）分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力为F,由胡克定律F=−kX,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律，m物体加速度a=dvdt=d2Xdt2=Fm=-kmx(1)可令km=ω2(2)代入（a）,得d2Xdt2=−ω2X或d2Xdt2+ω2X=0(3)显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程求解：对于d2Xdt2+ω2X=0，即X’’+ω2X=0(4)(4)式属可将阶的二阶微分方程，若设X’=u，消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数，那么X’’=dXdt=dudxdxdt=ududx,ududx+ω2X=0,ududx=−ω2X下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得∫udu=−ω2∫Xdx得12u2=−12ω2x2+C，即u2=−ω2x2+C1(5)u=x’,x’=√C1−ω2x2=dxdt(6)再次分离变量，dx√C1−ω2x2=dt(7)两边积分，右边=t，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：运用三角代换，令X=√C1ωcosz(7)式左边化为dcoszωsinz=−sinzdzωsinz=-dzω,两边积分，得-–zω=t+C2由此可得，X=√C1ωcos(ωt+ωC2),即X=Acos(ωt+ψ)(8)其中A,Ψ皆为常数此方程即为简谐运动方程若Ψ=0,X-t为余弦曲线，如图（b）所示图（b）验证：通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐曲线，与X=Acos(ωt+ψ)图像基本吻合，故可判断X=Acos(ωt+ψ)即为所求,如图（c）所示。图（c）