2.3.2抛物线的简单几何性质(一)

2.3.2抛物线的几何性质（1）07.01.05yl.FMd.xOK1、抛物线的定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.FlFlpxy22抛物线的,02p焦点坐标是：准线方程为：.2px前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?图形方程焦点准线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px2px2py2py)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pFy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）•一次项的变量如果为x（或y）则轴x（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向。•例如抛物线x2=-3y，则y为对称轴，开口方向和y轴的正方向相反。练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）方程焦点准线开口方向xy62yx420722yx)0,(23F)0,1(F)1,0(F),0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下yox)0,2(pFP(x,y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2=2px（p0）220pxy而0p0x所以抛物线的范围为0x(,)xy关于x轴对称(,)xy由于点也满足，故抛物线(p0)关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。(,)xyy2=2pxy2=2px2、对称性yox)0,2(pFP(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2=2px（p0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。３、顶点4、离心率yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。5、开口方向yox)0,2(pFP(x,y)抛物线y2=2px（p0）的开口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），22解：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx（三）、例题讲解：2224yx作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234…y…(2)描点：022.83.54(3)连线：11xyO思考：已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程。22例2.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点,且与抛物线相交于AB、两点,求线段AB的长.ABl想一想这是一道简单，但解法丰富的典型的抛物线问题，你能给出它的几种解法吗？法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.8ABABl解:F(1,0),直线l:y=x-1214yxyx例1.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点,且与抛物线相交于AB、两点,求线段AB的长.2610yxx消得：1122(,),(,)AxyBxy设12322322xx解得：，12222222y，y221212()()8ABxxyy1法：法2：126xx121xx2212121()4ABkxxxx23648法3：ABAFBF1211xx8126xxABl课本例4P61：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。（三）、例题讲解：课本例题推广：直线l经过抛物线y2=2px的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长|AB|=x1+x2+P.练习2：若直线l经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于A，B两点,且线段AB的中点的横坐标为2,求线段AB的长.（三）、例题讲解：分析:用坐标法解决这个问题,只要讨论直线的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点个数.例3.已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?解:依题意直线l的方程为1(2)ykx联立21(2)(*)4ykxyx你认为是消x呢,还是消y呢?消去x可得244(21)0kyyk(Ⅰ)当0k时,方程(Ⅰ)只有一解,∴直线与抛物线只有一个公共点.当0k时,方程(Ⅰ)的根的判别式△=216(21)kk①当△=0时,1k1或2.这时，直线与抛物线只有一个公共点.l于是，当且时，方程（Ⅰ）有2个解，从而，方程组（Ⅰ）有两个解，这时，直线与抛物线有2个公共点.11,2k0k②由即,02210,kk解得.211kl③由即,0,0122kk解得.211kk或于是，当时，方程没有实数解，从而方程组（Ⅰ）没有解，这时，直线与抛物线没有公共点.211kk，或l综上可得：当时，直线与抛物线只有一个公共点;0,21,1kkk或或l当时，直线与抛物线有两个公共点;11002kk或l当时，直线与抛物线没有公共点.21,1kk或l你能通过作图验证这些结论吗？练习5：已知直线y=kx+2与抛物线y2=8x恰有一个公共点,则实数k的值为（三）、例题讲解：01.0.31.1.或或DCBA判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离总结：[典例]已知AB是抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)|AB|＝x1＋x2＋p.4.探究抛物线中焦点弦问题1)过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为;28yx452)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为则为;oFpxy220pAFAx60OA3）抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）2xy0834yx34.A57.B58.C3.D16212pA小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;•谢谢！