信号与系统-第二版-郑君里第四章-

第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟§4.1引言§4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域§4.3拉氏变换的基本性质§4.4拉普拉斯逆变换§4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型§4.6系统函数（网络函数）H(s)§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性§4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性§4.9二阶谐振系统的s平面分析§4.10全统函数与最小相移函数的零、极点分布§4.11线性系统的稳定性§4.12双边拉氏变换§4.13拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟§4.1引言拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里，直接求得全响应s（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为域的“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方程；（3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；（4）将时域中的卷积运算转化为s域中的乘法运算，由此建立起系统函数H(s)的概念；（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统性能的许多规律。第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟§4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换当满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换()()jtFftedt)(tf1.拉氏变换是傅里叶变换的推广（1）系统求解中的激励、响应的非零取值往往是从时刻开始的。()et()rt0t0dtdt下限取是为了把、等也包含到积分区间中。0()t()t第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。1()()tftfte110()()jtFftedt若绝对可积，则存在傅里叶变换1()ft0()tjtfteedt()0()jtftedt0()stftedtsj0()()stFsftedt单边拉氏变换()()stBFsftedt双边拉氏变换()ftte考虑在上乘以收敛因子。0在上，只有在时才起收敛作用，且越大，收敛效果越明显。te0t第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟111()()()2tjtftfteFed2.拉氏逆变换1()()tftfte0101()()()()stjtFsftedtftedtF()11()()2jtftFed()11()()2jjtjFedjj1()2jstjFsedsj0-1()[()]()1()[()]()2stjstjFsftftedtftFsFsedsjLL()Fs象函数)(tf原函数第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义()()dftpftdt1()()tfdftp()()ftFs()()dftsFsdt1()()tfdFss(0)f01()fds在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使求解过程简化。第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟（三）单边拉氏变换的收敛域lim()0ttfte00若存在，使得时，成立。lim()0ttfte要使的拉氏变换存在，必须有()fts0则平面上的区域称为的收敛域。()Fs0j收敛域0（1）对仅在有限时间范围内取非零值的能量有限信号（2）对幅度既不增长也不衰减而等于稳定值的信号0，收敛域为整个平面s00，收敛域为右半平面s第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟（3）随时间成正比增长或随成正比增长的信号nttlim0,ttte0必须有lim0,nttte（4）按指数阶规律增长的信号te()limlim0ttttteee（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如，不能进行拉氏变换。2te00，收敛域为右半平面s0，收敛域为第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟（四）常用函数的拉氏变换()t1s整个平面()ut1s0()teut1s()tut21s00sin()()tut0220s00cos()()tut220ss00sin()()tetut0220()s0cos()()tetut220()ss第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟aseasdtedteesFtuetastasstatat1|1)()(0)()(0022221121)()(21)(cos1121)()(21)(sinssjsjstueettusjsjsjtueejttutjtjtjtj3222)(,1)(stutsttustudtettLst1)(,1)()]([0第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟§4.3拉氏变换的基本性质（一）线性1122()(),()()ftFsftFs若11221122()()()()KftKftKFsKFs则（二）时域微分特性()()ftFs若222()()(0)(0)dftsFssffdt()()(0)dftsFsfdt则dttdiLtvLL)()(()()(0)LLLVssLIsLi例1：sL-++IL(s)VL(s))0(LLi_22)11(21)()(21)(cosssjsjstueettutjtj例：第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟（三）时域积分特性()()ftFs若011()()()tfdFsfdss则例：tCCdiCtv)(1)(011()()()CCCVsIsidsCsC11()()(0)CCCVsIsvsCs+-Ic(s)Vc(s)+-)0(1CvssC1例2：求)]([cos],[cos),(cos,cos0000tutdtdtdtdtutt的拉氏变换。第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟例1：求的拉氏变换。10()sin[()]fttt10()sin[()]fttt100222211cos()sin()()sFsss011221()stFses1100()sin[()]()ftttutt0101cos()sin()sin()cos()tt()ftt01()ft0t0t（四）延时特性（时域平移）()()()ftutFs若000()()()stfttutteFs则×10sin()t010t第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟（五）s域平移()()ftFs若()()tfteFs则例：21(),tuts()tteut21()s（六）尺度变换()()ftFs若1()()(0)sfatFaaa则例2：求)2(),1(),1()1(,1,1),1()1(tuettututtttutt的拉氏变换。例3：书P255,4-19)5(tutet第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟例：已知)]()([,0,0),()]([batubatfLbasFtfL求若absabssbeasFaabtauabtafLbatubatfLasFaatuatfLeasFabatubatfLesFbtubtfL)(1)]([)]([)]()([)(1)]()([)(1)]()([)()]()([由延时性质得：由尺度性质得：方法二：再由尺度性质得：由延时性质得：方法一：第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟（七）初值定理)(lim)0()(lim0ssFftfst（八）终值定理)(lim)()(lim0ssFftfst应用条件：真分式1(0)lim()sfsFs的全部极点在左半平面，允许在处有一阶极点，以保证终值存在。()Fss0s为真分式()Fs应用条件：1()()()FsMsFs否则s的多项式第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟12231)(2sssssF例1：,1212)(223ssssssF求)0(f232(0)lim21ssfsss3例2：，求222)(2ssssF)(),0(ff2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟（九）卷积定理则1212()()()()()()ftutftutFsFs时域卷积定理12121()()[()()]2ftftFsFsj1122()(),()()ftFsftFs若s域卷积定理（十）s域微分与积分()()ftFs若则()()dtftFsds()()sftFdt0[sin()()]ttutL022202()ss22002220[cos()()]()sttutsL例：0220[]ddss第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟§4.4拉普拉斯逆变换◆部分分式展开法：()Fs仅适用于为有理分式情况◆围线积分法（留数法）：严密的数学方法部分分式展开法：110110()()()mmmmnnnasasaAsFsBssbsb11012()()()()mmmmnasasaFsspspspnppp,,,21的“极点”。)(sF称为分子多项式也可以表示为A(s)=(s-z1)(s-z2)…(s-zm)式中,z1,z2,…,zm是A(s)=0方程式的根，也称F(s)的零点。第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，先将F(s)分解为若干简单函数之和，再分别对这些简单象函数求原函数。p1,p2,…,pn既可以是各不相同的单极点，也可能出现有相同的极点即有重极点；分母多项式的阶次一般高于分子多项式(mn)，但也有可能m≥n。下面分几种具体情况讨论F(s)分解的不同形式。第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟例1：322597()32sssFsss32(1)(2)ssss)()2()(2)()(2tueetttftt21212ssss的多项式当时，mn1()()()FsMsFs一、二、nm第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析肖娟1212()ininKKKKFsspspspsp（1）所有极点均为一阶实极点1212(),0inptptptptinftKeKeKeKetipsiisFpsK)()(系数例2：251()2sFsss51(1)(2)sss2312ss2()23,0ttft