山东大学《高等数学》期末复习参考题-(8)

山东大学《数学分析III》期末复习参考题题号一二三四总分得分一、填空题（共10小题，40分）1、设uyx=arctan，则∂∂uy=___________.2、函数uxyxyz=−++ln的间断点为___________.3、设向量场A=P(y,z)i+Q(z,x)j+R(x,y)k,则divA=___________.4、曲线xteyeztettt===232222,,在对应于t=−1点处的法平面方程是___________.5、函数zxy=arcsin在点（1，13）沿x轴正向的方向导数是___________.6、设uxyyx=+2，则∂∂22zx=___________.7、设有平面向量场A=2xyi+(x2+3x)j,则它沿正方形|x|+|y|=1正向的环流量为_________.8、曲面xyz22450+−+=垂直于直线xyz−=−=1212的切平面方程是_________________.9、根据二重积分的几何意义dxdyyxD∫∫−−224＝_____________.其中D：x2+y2≤4,x≥0,y≥0.10、极限limsin()xyxyx→→0π=_______。二、选择题（共5小题，20分）1、函数zfxy=(,)在点(,)xy处的二阶偏导数fxyxy(,)及fxyyx(,)都存在，则fxyxy(,)及fxyyx(,)在点(,)xy处连续是ffxyyx=的（）(A)充分而非必要条件；(B)必要而非充分条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。2、曲线−=−−=−−20222zyxzyx在点(,,)011−处的法平面方程为（）（A）xyz++=0（B）xy+=0（C）20xyz++=（D）yz+=03、设uxbxycy=−+222，∂∂∂∂uxuy(,)(,),212160==，则22yu∂∂=（）(A)4(B)－4(C)2(D)－24、单叶双曲面xyz2224231+−=上点M处的法向量与三坐标轴正向的夹角相等，则点M为（）（A）4361666,,和−−−4361666,,（B）4361666,,−和−−4361666,,（C）4361666,,−−和−−4361666,,（D）−−4361666,,和4361666,,−5、设L是圆周x2+y2=a2(a0)负向，则()三、计算题（共5小题，30分）1、求函数zxy=+ln()22在点Mxy000(,)沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数。2、求函数zxxyyx=+++24232的驻点。3、∫∫Σ++dSzyx)(，Σ为平面5=+zy被柱面2522=+yx所截得的部分。四、证明题（10分）设ufrr=⋅()ff，其中{}zyxr,,=，ft()可微，证明：沿与r垂直的任一方向上该函数的方向导数为零。《数学分析III》期末试卷08答案与评分标准一、填空题（共10小题，40分）1、xxy22+2、平面yx=上的所有点。3、04、01132=+−−eyx5、1226、23yx7、68、2210xyz+++=9、π3410、π二、选择题（共5小题，20分）ACBBA三、计算题（共3小题，30分）1、等值线方程为xyxy220202+=+，外法线向量nxy={,}00，所以cos,cosαβ=+=+xxyyxy0020200202(5分)∂∂αβznxxyyxyxy=+++=+22200202002020202coscos(10分)2、由=+==++=02402462yxzyxzyx（6分）解得驻点：()132312,,,−−（10分）3、dxdydxdydxdyzzdSyx2)1(011222=−++=++=(5分)πθθπ∫∫∫∫∫∫=+=+=++∴∑20502125)5cos(2)5(2)(rdrrddxdyxdSzyxD(10分)四、证明题（10分）证明：∂∂∂∂uxfarauyfaraxy=⋅=⋅''()()ffff∂∂uzfaraz=⋅'()ff(4分)设{}fl0=cos,cos,cosαβγ与fa垂直，则∂∂αβγulfaraaaxyz=⋅++'()(coscoscos)ff=⋅⋅⋅=faral'()()ffff00(10分)