圆与方程知识点的总结典型例题

实用标准文案精彩文档圆与方程1.圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()rbyax（③M在圆C外22020)()(rbyax（3）涉及最值：①圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值minPBBNBCrmaxPBBMBCr②圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPAANrACmaxPAAMrAC思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）3.圆的一般方程：022FEyDxyx.(1)当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.实用标准文案精彩文档(2)当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.(3)当0422FED时，方程不表示任何图形.注：方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED.4.直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax圆心到直线的距离22BACBbAad1）无交点直线与圆相离rd；2）只有一个交点直线与圆相切rd；3）有两个交点直线与圆相交rd；弦长|AB|=222drdrd=rrd还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组0022FEyDxyxCByAx求解，通过解的个数来判断：（1）当0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:rbyaxC与圆2222222)()(:rbyaxC，圆心距221221)()(bbaad①条公切线外离421rrd；②条公切线外切321rrd；③条公切线相交22121rrdrr；实用标准文案精彩文档④条公切线内切121rrd；⑤无公切线内含210rrd；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110xyDxEyF，圆2C：222220xyDxEyF，则1212120DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程.补充说明：①若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；②若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C：221110xyDxEyF和2C：222220xyDxEyF交点的圆系方程为22221112220xyDxEyFxyDxEyF（1）补充：①上述圆系不包括2C；②2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③过直线0AxByC与圆220xyDxEyF交点的圆系方程为220xyDxEyFAxByC6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即实用标准文案精彩文档1)()(2110101RxakybRxxkyy求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为。(2)过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)=r2特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为。7．切点弦(1)过⊙C：222)()(rbyax外一点),(00yxP作⊙C的两条切线，切点分别为BA、，则切点弦AB所在直线方程为：200))(())((rbybyaxax8.切线长：若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为d=22020b)(+)(ryax．9.圆心的三个重要几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在某一条弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C1：x2+y2—2x=0和圆C2：x2+y2+4y=0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。实用标准文案精彩文档一、求圆的方程例1(06重庆卷文)以点)1,2(为圆心且与直线0543yx相切的圆的方程为()(A)3)1()2(22yx(B)3)1()2(22yx(C)9)1()2(22yx(D)9)1()2(22yx二、位置关系问题例2(06安徽卷文)直线1yx与圆0222ayyx)0(a没有公共点，则a的取值范围是()(A))12,0((B))12,12((C))12,12((D))12,0(三、切线问题例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线方程为()(A)xy3或xy31(B)xy3或xy31(C)xy3或xy31(D)xy3或xy31四、弦长问题例4(06天津卷理)设直线03yax与圆4)2()1(22yx相交于BA、两点，且弦AB的长为32，则a.五、夹角问题例5(06全国卷一文)从圆012222yyxx外一点)2,3(P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()(A)21(B)53(C)23(D)0六、圆心角问题例6(06全国卷二)过点)2,1(的直线l将圆4)2(22yx分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k.实用标准文案精彩文档七、最值问题例7(06湖南卷文)圆0104422yxyx上的点到直线14yx0的最大距离与最小距离的差是()(A)30(B)18(C)26(D)25八、综合问题例8(06湖南卷理)若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则直线l的斜率k取值范围_______________圆的方程1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是A.－1t71B.－1t21C.－71t1D.1t22.一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程.3.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（）A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=04.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条5.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.6.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的距离的最小值为____________.7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.实用标准文案精彩文档经过两已知圆的交点的圆系例1．求经过两已知圆：06422xyx和06422yyx的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。例2．设圆方程为：016448)4012()42()4()4(22yxyx其中－4求证：不论为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系例1：求由下列条件所决定圆422yx的圆的切线方程；(1)经过点)1,3(P，(2)经过点)0,3(Q，(3)斜率为1实用标准文案精彩文档直线和圆1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆074422yxyx相切，求光线L所在直线方程．2.求圆心在直线0xy上，且过两圆22210240xyxy，22xy2280xy交点的圆的方程．3.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．弦长【例题】已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x2+y2=2相交于A、B两点，求弦长AB.