方程的根与函数的零点

2020/7/171乾安四中张艳梅2020/7/172方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3问题探究:求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标。结论:以上一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标.函数的图象与x轴的交点32020/7/17方程ax2+bx+c=0(a0)的根函数y=ax2+bx+c(a0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2引申：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的关系.结论:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根就是相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交点的横坐标.42020/7/17对于函数y=f(x),叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数的零点定义：等价关系使f(x)=0的实数x方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。推广：2020/7/175求下列函数的零点65)(2+-=xxxf12)(-=xxf（1）（2）2和30解方程：(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；(3)写出零点.零点的求法代数法几何法练一练：利用函数图象变式：判断函数f(x)=lnx+2x-6在(2，6)上是否有零点.2020/7/176探究:（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=xxxf的图象：○1在区间(-2,1)上有零点______；=-)2(f_______，=)1(f_______,)2(-f·)1(f_____0（＜或＞）．○2在区间(2,4)上有零点______；)2(f·)4(f____0（＜或＞）．(Ⅱ)观察函数的图象:①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a).f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b).f(c)_____0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c).f(d)_____0（＜或＞）．怎样的条件下，能够判断出函数y＝f(x)在（a,b)内一定有零点？-15-43有有有问题探究:2020/7/177结论如果函数()yfx=在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0fafb，那么，函数()yfx=在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc=，这个c也就是方程()0fx=的根。思考1:若只给条件f(a)·f(b)0,能否保证函数y=f(x)在(a,b)一定有零点？abxy思考2：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)0一定成立吗?（1）函数图象必须是连续的abyx（2）结论不可逆ab思考3：零点唯一吗？（3）至少有一个零点2020/7/178练一练：已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123456f(x)136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.06函数f(x)在哪几个区间内有零点？为什么？2020/7/179由表3-1和图3.1—3可知f(2)0,f(3)0，即f(2)·f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219如果函数y=f(x)在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数，那么这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。2020/7/171023.二次函数，则函数的零点个数是2(0)yaxbxca=++0ac练习：1、函数f(x)=lnx-1的零点为（）A、3B、4C、-1D、e2、函数在（-1，0）内的零点有（）个A、0B、1C、2D、3()4xfxxe=+DB4、已知函数f(x)=3x-x2,则方程3x-x2=0在区间[-1，0]内有没有实数解，为什么？2020/7/1711小结：等价f(x)=0有实根y=f(x)与x轴有交点y=f(x)有零点等价如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根。3．函数零点存在性的判断1．函数零点的定义等价关系函数零点方程根，形数本是同根生。函数零点端点判，图象连续不能忘。2020/7/1712求证：方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内.必做题：教材P88练习第1题，教材P92习题3.1A组第2题作业:选做题：2020/7/1713再见