0346初等数论

-1-西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：数学与应用数学2017年06月课程名称【编号】：初等数论【0346】A卷大作业满分：100分一、解释下列概念（每小题15分，共30分）1.叙述整数a被b除的不完全商的概念。2.叙述整数a，b对模m同余的概念。二、（30分）给出有关整除的一条性质并加以证明。三、（15分）求125与50的最大公因数。四、（15分）求不定方程x+9y=1的一切整数解。五、（10分）设m,n为整数，证明m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数。一、解释概念1.答：若a，b是两个整数，其中b0，则存在两个整数q及r，使得a=bq+r，0=rb成立，而且q及r是唯一的，q叫做a被b除所得的不完全商。2.答：如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a与b对模m同余，记为a≡b（modm）。二、答：若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数。即：若b|a，c|b，则c|a。证：由b|a，c|b及整除的定义知存在整数q1,q2使得a=bq1,b=cq2。因此a=(cq2)q1=c(q1q2)，但q1q2是一个整数，故c|a。三、解：因为125=53，50=252，所以125与50的最大公因数是52，即25。四、解：因为(1,9)=1，所以不定方程有整数解。显然x=1，y=0是其一个特解，所以不定方程的一切整数解为，其中t取一切整数。五、证明：若m或n为3的倍数，则mn是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加1，则m-n是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加2，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加1，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加2，则m-n是3的倍数，结论成立。