初高中数学衔接知识点专题

-1-初高中数学衔接知识点专题★专题一数与式的运算【要点回顾】1．绝对值[1]绝对值的代数意义：．即||a．[2]绝对值的几何意义：的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示的距离．[4]两个绝对值不等式:||(0)xaa；||(0)xaa．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1]2()abc[公式2]33ab(立方和公式)[公式3]33ab(立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”．3．根式[1]式子(0)aa叫做二次根式，其性质如下：(1)2()a；(2)2a；(3)ab；(4)ba．[2]平方根与算术平方根的概念：叫做a的平方根，记作(0)xaa，其中a(0)a叫做a的算术平方根．[3]立方根的概念：叫做a的立方根，记为3xa4．分式[1]分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：（1）；（2）．[2]繁分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2mnpmnp，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．[3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程-2-【例题选讲】例1解下列不等式：（1）21x（2）13xx＞4．例2计算：（1）221(2)3xx（2）2211111()()5225104mnmmnn（3）42(2)(2)(416)aaaa（4）22222(2)()xxyyxxyy例3已知2310xx，求331xx的值．例4已知0abc，求111111()()()abcbccaab的值．例5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）323（2）22(1)(2)(1)xxx（3）11ab（4）3282xxx例6设2323,2323xy，求33xy的值．-3-例7化简：（1）11xxxxx（2）222396127962xxxxxxxx（1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)xxxxxxxxxxxxxxx22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)xxxxxxxxxx说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．【巩固练习】1．解不等式327xx2．设11,3232xy，求代数式22xxyyxy的值．3．当22320(0,0)aabbab，求22ababbaab的值．4．设512x，求4221xxx的值．5．计算()()()()xyzxyzxyzxyz6．化简或计算：(1)113(184)2323(2)22122(25)352-4-(3)2xxxyxxyyxyyxxyy(4)()()babababaababbabaab★专题二因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4]2()abc[5]33ab(立方和公式)[6]33ab(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法（1）2()xpqxpq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．∵2()xpqxpq2()()()()xpxqxpqxxpqxpxpxq，∴2()()()xpqxpqxpxq运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）一般二次三项式2axbxc型的因式分解由2121221121122()()()aaxacacxccaxcaxc我们发现，二次项系数a分解成12aa，常数项c分解成12cc，把1212,,,aacc写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221acac，如果它正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122()()axcaxc，其中11,ac位于上一行，22,ac位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．-5-4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法【例题选讲】例1（公式法）分解因式：(1)34381abb；(2)76aab例2（分组分解法）分解因式：（1）2222()()abcdabcd（2）2222428xxyyz例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)2524xx(2)2215xx(3)226xxyy(4)222()8()12xxxx解：（1）24(3)8,(3)852524[(3)](8)(3)(8)xxxxxx（2）15(5)3,(5)322215[(5)](3)(5)(3)xxxxxx（3）分析：把226xxyy看成x的二次三项式，这时常数项是26y，一次项系数是y，把26y分解成3y与2y的积，而3(2)yyy，正好是一次项系数．解：222266(3)(2)xxyyxyxxyxy(4)由换元思想，只要把2xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式2812aa．解：22222()8()12(6)(2)xxxxxxxx(3)(2)(2)(1)xxxx例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)21252xx；(2)22568xxyy解：(1)21252(32)(41)xxxx3241(2)22568(2)(54)xxyyxyxy1254yy说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．例5（拆项法）分解因式3234xx【巩固练习】1．把下列各式分解因式：(1)2222()()abcdcdab(2)22484xmxmnn(3)464x(4)32113121xxx(5)3223428xxyxyy-6-2．已知2,23abab，求代数式22222ababab的值．3．现给出三个多项式，1212xx，13212xx，xx221，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4．已知0abc，求证：32230aacbcabcb．★专题三一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：．由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有[1]当Δ0时，方程有两个不相等的实数根：；[2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：；[3]当Δ0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：1212,xxxx说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．【例题选讲】例1已知关于x的一元二次方程2320xxk，根据下列条件，分别求出k的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．-7-例2已知实数x、y满足22210xyxyxy，试求x、y的值．例3若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．例4已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．(1)是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．(2)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．解：(1)假设存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．∵一元二次方程24410kxkxk的两个实数根，∴2400(4)44(1)160kkkkkk，又12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根，∴1212114xxkxxk∴222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxxxxxxx939425kkk，但0k．∴不存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．(2)∵222121212211212()44224411xxxxxxkxxxxxxkk∴要使其值是整数，只需1k能被4整除，故11,2,4k，注意到0k，要使12212xxxx的值为整数