流体力学第7章理想不可压无旋运动zhou

流体力学第七章理想不可压无旋运动理论分析建立“理论模型(力学模型，物理模型)”，根本基础：连续介质模型。简化模型:不可压缩流体、理想流体等。封闭方程（建立数学模型）A.宏观运动三大定律（运动的普遍性）B.本构关系、状态方程（物质的特殊性）C.初始条件、边界条件（运动的特殊性）求解方程组。精确解，近似解，偏微分方程理论分析结果，得到理论7.1引言、方程组理想不可压缩无旋运动：简化模型，方便求解7.1引言、方程组无旋运动：孔口出流，堰流，绕流。特征：从静止（低速）很快加速，涡量很小。无旋运动通常与理想流体相联系。无旋运动也可以用于研究自由面流动（重力波）。7.1引言、方程组0V理想不可压缩绕流问题的方程和定解条件为初始条件0tt边界条件无穷远处物面上zwyvxuVV0无旋运动速度势函数,无旋运动有称有势运动02222222zyx7.1引言、方程组不可压连续方程已知速度势,可求任何方向的速度投影在理想、不可压缩、重力场、无旋运动时，运动方程为00zwyvxuV圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式zVrVrVzr102222222zyx7.1引言、方程组方程组和定解条件为0tt无穷远处静止固壁上7.2速度势函数及无旋运动的性质已知求rdVrddzydyydxxd积分与路径无关时，是单值的单值与多值与区域是单连域还是多连域有关单连域中，任意曲线是可缩曲线Stokes定理sLsdVrdV)(0LrdVL：要求是可缩曲线0)(sLsdVrdV无旋运动单连域中，是单值函数，7.2速度势函数及无旋运动的性质双连域中，如果曲线L1不是可缩曲线，不能用Stokes定理021LLrdVCDABLLL21L是可缩曲线0LrdV双连域无旋流场中，包围内边界的任何封闭曲线上的环量等于内边界周线上的环量。为了能用Stokes定理，再做一个封闭曲线，并作隔缝。221LLLrdVrdVrdV021LLLrdVrdVrdV7.2速度势函数及无旋运动的性质速度势函数及无旋运动的性质在区域内部不能有极大和极小值02速度的极大值只能发生在边界上在流体内部压力不能达到极小值动能表达公式7.6平面运动与流函数平面无旋运动中yvxuVV0jviuV势函数性质1)可相差一个常数2)速度方向与等势线垂直3)不可压,速度势函数满足拉氏方程022222yx0yvxu7.6平面运动与流函数定义流函数:由平面不可压缩的连续性方程,流函数性质1)可相差一个常数2)=C为流线,即流函数等值线就是流线0yvxuxvyu若设即连续性方程自动满足称为流函数则有0)()(xyyx3)两点流函数之差等于过此两点连线的流量4)在单连域,若不存在源汇,流函数为单值函数5)无旋时,流函数满足拉氏方程0022222yxyuxvz(3).平面流动中,通过两条流线间任一曲线(单位厚度)的体积流量等于两条流线的流函数值之差dl0xnbay=C1=C2nynxnabbabababayxbaddxxdyyQvdxudydlvndlundlnVQ)()(7.6平面运动与流函数7.7复位势及复速度对于平面运动,不可压无旋时流函数和势函数同时存在.且任一解析函数的实部和虚部都满足拉氏方程所以,满足柯西-黎曼条件,可用复变函数求解问题和xyvyxu,yixziw满足柯西-黎曼条件,则是复变量的解析函数和不可压平面无旋运动解析函数w(z)viuxixdzdw7.7复位势及复速度引入复速度ieVivuVieVivuV共轭复速度izw)(复位势的性质1)可相差一个常数3)共轭复速度沿封闭曲线的积分,其可实部为环量,虚部为流量2)等流函数线与等势线正交Qiidddwdzdzdwccc7.8理想不可压流体平面定常无旋运动的数学提法1)以速度势函数为未知函数022222yx无穷远处物体C上vyux2)以流函数为未知函数022222yx无穷远处物体C上vxuy7.8理想不可压流体平面定常无旋运动的数学提法3)以复势为未知函数无穷远处物体C上Vdzdw求C外无界区域D内的的解析函数,满足)(zw属于复变函数中求解析函数的范畴7.9基本流动复变函数方法保角映射方法奇点法解析函数平面不可压无旋流动解决实际不可压平面势流问题时：根据经验选用2个或更多简单解析函数进行叠加。只要结果与给定的边界条件相符，即为所求解7.9基本流动yaxa121）线性函数yaxa21zazw)())(()(21iyxiaaizwVadzdwV共轭复速度ieVivuV均匀直线流动，无穷远来流。zVzw)(V0yx7.9基本流动2）对数函数zazwln)(cairareaizWiln)ln()()ln(2)(ln2)(0zzQzWzQzW从原点出发的射线族aQ20iadzdzdwQic2xyQ0xyQ0点源点汇点源：流体以固定流量Q从平面一点沿径向向外流出7.9基本流动3）对数函数zibzwln)(crribbizWln)()ln(2)(ln2)(0zziQzWzizWbdzdzdwQic202Qb点涡：流体质点均绕某点O作圆周运动。周向流速：，xy0xy0rcv7.9基本流动3）对数函数zizWln2)(当原点附近有旋流区为有限大时，则称该旋转核心与周围无旋流的结合为兰金涡，旋转核心称为涡核。已知原点以外流动为无旋运动，无旋流动速度环量应为0。在原点附近流动必是有旋流，原点以外无旋的圆周运动是由于原点附近有旋运动诱导的结果，因此称为点涡或自由涡。7.9基本流动4）倒数函数zczw)(偶极子流动xy-Q+QPz0zzzQzzQzWln2)ln(2)(0zzzzeABQzzzzzzQzWilnln2lnln)(2)(zMzmezWi1212)(zzzzzmQABzzQAB1lnlnlimlim07.9基本流动偶极子流动zMzmezWi1212)(izmzW12)(222)2()2(ccyx流线：是上下两族圆，圆心在y轴上，各圆经过原点0cdzdzdwQi流线方程例试分析下列复势是由哪些基本势流叠加而成的?)4ln()1(2)(2zizzW解:)2ln()2ln()2ln()2ln(2)(iziiziizizzzW(1).(2).(3).2ieVizizQ221200izizii222007.9基本流动例龙卷风r0=20m，Vmax=50m/s,空气密度=1.225kg/m3,无穷远压强为p,速度分布为解:0022)2(2121pprrrpVpp20200021)2(21Vrpprr201000205.2rrVrrV试求涡核中心的最小压强5.22220200max000rrrrVVVrrrrV涡外部压强分布7.9基本流动涡核区压强分布ypyvvxvuxpyuvxuu11xvyuydyxdxdyyvvdyxvudxyuvdxxuudp22122202202020022221)(21rrppVprpCpprrCyxp当r=0时,压强最小,为pcackpVpp063.350225.12207.9基本流动均匀平行流场与点源叠加后形成的流动称为二维钝体绕流,速度V沿x轴方向,点源位于原点(1)复势、流函数、势函数(2)滞止点位置与钝体轮廓线方程(3)钝体的趋近宽度等Vyxq/Vqq/2V解:zqzVzWln2)(2sinln2cosqrVrqrVsin2cosVrVrqVrVrVqrrqVVVVr202cos,00sin驻点位置通过驻点流线:)(2222202VqyqqyVqqqyV当x=,=0:y=q/2V当=/2:y=q/4VVyxq/Vqq/2V不同强度的源流沿轴线排列并与直匀流叠加可得到：直匀流绕实际钝头体物体的流动源的作用：是将前方来流推开，与物体头部作用相同直匀流与一对等强度源汇的叠加：直匀流流场中：放置一个物体其轮廓线：与流线谱中封闭线相同上述复合流动：代表直匀流绕该物体的流动7.9基本流动7.10圆柱无环量绕流基本流动叠加,解决平面无旋运动的反问题.关键是叠加的解要满足边界条件,绕流物体固壁是一条流线,解析函数,Im(W(z))=const.xyV+Q-Q22212)(yxymyVzmzVzwVmayxy200222零流线azzazVzw)()(27.10圆柱无环量绕流azzazVzw)()(2(1)解析函数(2)圆柱表面是一条流线(3)无穷远速度是Vsin)1(cos)1(2222raVruraVrur速度分布sin20Vuur圆柱面上(r=a)速度分布:7.10圆柱无环量绕流22222sin4121)sin2(212121VVVVppp压力系数:p)sin41(2122VppcycxadpRadpR0sin0cos圆柱无环量绕流时,圆柱所受合力==零7.11有环量圆柱绕流2cos)(ln2)()(22rarVzizazVzwxyV+Q-Q(1)解析函数(2)点涡流线为圆,不影响圆柱表面为一条流线(3)点涡速度无穷远为零,无穷远速度仍为V.rraVrVraVrVr2sin)1(cos)1(2222速度分布aVVVr2sin20圆柱面上(r=a)速度分布:7.11有环量圆柱绕流驻点位置:aV4sin0)4sin2sin41(21222222VaaVVpp2022sin)2(21sin0cosdaVaVadpRadpRcycxVRy压力:库塔--儒可夫斯基定律:当理想流体绕有环流的圆柱体流动时，作用在柱体上的力方向与未受扰动气流流动方向垂直，大小等于来流速度、环量、密度三者乘积。7.12虚像法,映射定理,圆周定理在以L1为边界的区域τ中,具有源、涡等一组奇点S。如果在区域τ外放置另一组奇点S’，从而使这两组奇点合成后的流动，具有L1这样的流线，则S’是S对