垂径定理ppt

问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）X任何一条直径所在的直线都是对称轴。观察并回答（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？ADOCBADOCB思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？·OABCDE如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E.条件CD为直径CD⊥AB垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，AE=BE，AC=BC，⌒⌒AD=BD．⌒⌒∴（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？结论AE=BEAC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒∵垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．CD⊥AB引申定理•定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：•一条直线具有：平分弦经过圆心垂直于弦可推得平分弦所对的劣（优）弧·ABCDE·ＯＯABDC条件CD为直径结论AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒CD⊥ABAE=BE平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（不是直径）垂径定理的推论:CD⊥AB吗？(E)合作探究“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(2）(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的推论•如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理及推论●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.判断下列图形，能否使用垂径定理？定理辨析EDCOABDCOABEEOCDABECOABEDOABEOAB双基训练判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.()(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.√解：如图，设半径为R，ABAD21,7.184.3721DCOCOD.2.7R在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2.7(7.18222RR即解得R≈27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OABCD37.47.2例：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）AB=37.4,CD=7.2R18.7R-7.21．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．应用新知识解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.118422AEAB在Rt△AOE中在⊙O中EOAB变式：图中两圆为同心圆变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？DCOAB变式4：隐去（变式1）中的大圆，得右图，连接OC，OD，设OC=OD，AC、BD有什么关系？为什么？DCOAB变式1：AC与BD有什么关系？DCOAB变式2：AC＝BD依然成立吗NMDCOAB2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.选择：如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为（）A、3B、2C、1D、0。OCDBAADABO53cm⌒在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是60˙，那么弦AB的弦心距是_____弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.DCABO134cm25cm已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_______小结直径平分弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径垂直于弦直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弧所对的弦直径平分弧直径垂直于弧所对的弦==１、圆的轴对称性２、垂径定理及其推论的图式常用辅助线:垂直于弦的直径某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO垂径定理的推论•如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?•老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.MM已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON讲解如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？圆的两条平行弦所夹的弧相等试一试P9312挑战自我填一填•1、判断：•⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）•⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）•⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）•⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.•⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）•2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.FEOMNABCD•3、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA.DOABC•4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.·ABCD0EFGHMN已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半径为5cm，思考题：（1）请根据题意画出符合条件的图形（2）求出AB、与CD间的距离。OBADC（1）OBADC（2）