第5讲-倍长中线与截长补短

三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线与截长补短教学目标：1掌握倍长中线的条件，学会运用倍长中线构造全等三角形，解决实际问题。2掌握截长补短的条件，学会运用截长补短构造全等三角形，解决实际问题。教学重点：判断倍长中线与截长补短的条件，构造全等三角形教学难点：灵活运用倍长中线与截长补短。教学对象：熟练掌握全等三角形的基础的同学。教学策略:自主、合作、探究先学后教，当堂训练。介绍:此讲义适合全等三角形基础掌握扎实的同学，让孩子们学会构造全等的同时，可以解决最后的拔高题目。大家互相学习，有不到之处，欢迎批评指正，谢谢知识互联网定义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．EDABC其中BDCD，延长AD使得DEAD，则BDECDA△≌△．【例1】已知ABC△中，AD平分BAC，且BDCD，求证：ABAC．1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】延长AD到E，使DEAD，连接CE．则CDEBDA△≌△，∴CEAB，CEDBAD，∵AD平分BAC，∴BADCAD，∴CEDCAD，∴CEAC，∴ABAC．【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1；已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1；已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，求证：AB=AC．1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。思路导航例题精讲题型一：倍长中线EABCDABCD【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°∴△ABD≌△ACD(SAS)∴AB=AC．【拓展2】已知△ABC中，AD⊥BC，且BDCD，求证：AB=AC．1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】∵AD⊥BC，且BDCD∴AD所在直线是线段BC的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等故AB=AC．【例2】⑴如图，已知ABC△中，ABAC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BDAB．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是．【解析】①正确．∵ABAC，BDAB，∴AD=2AC．②、④正确．延长CE到F，使EFCE，连接BF．∵CE是AB的中线，∴AEEB．在EBF△和EAC△中AEBEAECBEFCEFE∴EBFEAC≌△△∴BFACABBD，EBFEAC∴FBCFBEEBCAACBDBC在FBC△和DBC△中FBDBFBCDBCBCBC∴FBCDBC≌△△∴2CDCFCE，∠FCB=∠DCB即CD=2CE，CB平分∠DCE．③错误．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．⑵如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确的是．典题精练ABCDEDCBAFCAEBDNMEDCBAEDCBA【解析】点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE，即AB+AC＞AD+AE．∴①②③④均正确．【例3】如图，已知在ABC△中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．【解析】延长AD到G，使DGAD，连接BG∵BDCD，BDGCDA，ADGD∴ADCGDB△≌△，∴ACGB，GEAF又∵AFEF，∴EAFAEFBED∴GBED，∴BEBG，∴ACBE．【例4】在正方形ABCD中，PQ⊥BD于P，M为QD的中点，试探究MP与MC的关系．GFEDCBAFEDCBANABCDMPQQPMDCBA【解析】延长PM至点N，使PM=MN，连结CP、CN、DN．易证△PMQ≌△NMD，∴PB=PQ=DN，∠PQD=∠NDM∴PQ∥DN，又∵∠BPQ=∠BDN=90°∴∠PBQ=∠BDC=∠NDC=45°再证△BPC≌△DNC(SAS)易证△PCN为等腰直角三角形，又∵PM=MN，∴PM⊥MC,且PM=CM．定义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB上截取ADAC补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等ABCD延长AC，使得ADAB例题精讲思路导航题型二：截长补短DCBAEDCBADCEBAEDCBA【例5】在ABC△中，A的平分线交BC于D，ABACCD，40B，求C的大小．（希望杯培训题）DCBAEDCBA1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】在AB上截取AEAC，连接DE．∵AEAC，BADCAD，ADAD，∴ACDAED△≌△，∴CAED，CDDE，∵ABACCD，AEAC，∴CDBEDE∴40EBDEDB，80CAED【例6】如图，在ABC△中，2BC，BAC的平分线AD交BC于点D．求证：ABBDAC．1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】方法一：（截长）在AC上截取ABAE，连接DE．在ABD△和AED△中ABAE，BADEAD，ADAD∴ABDAED△≌△∴BDED，BAED又∵2AEDEDCCBC∴EDCC，∴EDEC∴ABBDAC．方法二：（补短）延长AB到点E使得ACAE，连接DE．在AED△和ACD△中，AEAC，EADCAD，ADAD∴AEDACD△≌△，∴CE又∵22ABCEBDECBDE∴EBDE∴BEBD，∴ABBDAC．方法三：（补短）延长DB到点E使得ABBE，连接AE则有EABE，2ABCEEABE又∵2ABCC，∴CE典题精练∴AEACEADEABBADEDACCDACADE∴AEDE，∴ABBDEBBDEDAEAC∴AB+BD=AC若题目条件或求证结论中含有“abc”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法【例7】已知：在ABC△中，ABCDBD，ADBC，求证：2BC．1先让同学们讨论解决此题的方法及做法。2让同学们展示自己的解决方案。【解析】方法一：在DC上取一点E，使BDDE，如图1，在ABD△和AED△中，ADBC，BDED，ADAD．∴ABDAED△≌△．∴ABAE，BAED．又∵AEABCDBDCDDEEC∴CEAC，∴2CEACAEDC∴2BC．图1EABCD图2EABCD方法二：延长DB到点E，使BEAB，如图2，∴EEAB．∵ABCDBD，∴EDCD．在AED△和ACD△中，ADBC，EDCD，ADAD．∴AEDACD△≌△．∴EC．∵2ABDE∴2BC．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法：⑴延长短边。⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。DCBA【变式一】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45°，求证：EF=DE+BF．GADBCEFFECBDA【解析】延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得：ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，∴AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=GE=GD+DE=BF+DE【变式二】正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？GFECBDAADBCEF【解析】数量关系为：EF=BFDE．理由如下：在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90°，AD=AB又DE=BG∴△ADE≌△ABG（SAS）∴EAD=GAB，AE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE∴GAF=GAEEAF=90°45°=45°∴GAF=EAF=45°又∵AG=AE，AF=AF∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF=GF=BFBG=BFDE【变式三】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？FECBDAADBCEFG【解析】数量关系为：EF=DEBF.理由如下：在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF∴△ADG≌△ABF（SAS）∴GAD=FAB，AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90°=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°∴GAE=FAE=45°又∵AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=EG=EDGD=DEBF【变式四】正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？GABDCEFFECDBA【解析】数量关系为：EF=BE+FC，理由如下延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG由△ABC是正三角形得：ABC=ACB=60°又∵DB=DC，BDC=120°，∴DBC=DCB=30°∴DBE=ABC+DBC=60°+30°=90°，ACD=ACB+DCB=60°+30°=90°∴GCD=180°ACD=90°∴DBE=DCG=90°又∵DB=DC，BE=CG，∴△DBE≌△DCG（SAS）∴EDB=GDC，DE=DG又∵DBC=120°=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG∴GDF=EDGEDF=12060°=60°∴GDF=EDF=60°又∵DG=DE，DF=DF∴△GDF≌△EDF（SAS）∴EF=GF=CG+FC=BE+FC【变式五】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15°，FAB=30°，AD=3，求△AEF的面积．HGADBCEFFECBDA【解析】延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG，过E作EHAG前面如变式一所证，△ADG≌△ABF，△EAG≌△EAFGAD=FAB=30°，