线性空间与线性变换

第一章线性空间与线性变换知识要点：1、线性空间的概念和结构，基变换、过渡矩阵和向量的坐标变换。2、线性子空间的概念，维数定理，直和与直和分解定理。3、线性变换及其矩阵表示。4、欧氏空间与酉空间，正交阵与酉阵，正交补与正交分解。5、正交变换及其特征。6、应用于小波变换的框架理论（对偶框架，紧框架，Riesz基）。§1.1线性空间一、线性空间的概念在诸如所有n维实向量构成的集合nR等集合中，线性运算是研究向量性质的基本工具，它能从线性相关性和线性结构的角度研究向量、向量组之间的关系，这在线性代数课程中已得到充分展示。对于更加一般的元素构成的集合，也可同样在其中引入“线性运算”，进行集合性质和结构的研究。通常具有某些运算工具的集合称为“空间”。定义1（definition）：设非空集合V相对于数域P具有封闭的加法和数乘运算，并且具有与任何元素之和仍为该元素的零元素，同时每个元素均具有与其之和为零元素的负元素。若V中运算满足加法结合律与交换律、数乘结合律与分配律和乘1不变性，则称V为数域P上的线性空间。注1（note）：数域是指对加减乘除四则运算封闭的数集，如有理数集、实数集和复数集等。注2：易证零元素和负元素均是唯一的，零元素为0，元素x的负元素记为x。注3：任何线性空间必含有零元素0，只含有零元素0的线性空间称为零空间，记为0。对于元素,xy和数,，x与y的和记为xy，与x的数乘记为x，xy称为x与y的线性运算或线性组合。一个集合是否构成一个线性空间，主要是看所引入的线性运算是否具有封闭性。例1（example）：数域P上的n维（行或列，以后若不加声明均指列）向量空间nP。按n维向量的线性运算，nP构成数域P上的线性空间。例2：nP中的子集0SxAx，其中A为P上mn阶矩阵。按nP中的线性运算，非空子集S是封闭的，从而构成数域P上的线性空间。例3：数域P上的mn阶矩阵空间mnP。按mn阶矩阵的线性运算，mnP构成数域P上的线性空间。例4：数域P上的多项式空间[]Px。按多项式的线性运算，[]Px构成数域P上的线性空间。例5：区间[,]ab上的实值连续函数空间[,]Cab。按函数的线性运算，[,]Cab构成数域P上的线性空间。例6：nP中子集0VxAxb，其中mnAP，mbP。因为22Axbb（），所以xV时，2xV，即数乘运算不满足封闭性，因而V不构成数域P上的线性空间。例7：设0VxRx，定义V中的“加法”和“数乘”为：=xyxy，=xx，,xyV，R，则V为R上的线性空间，其中V中零元素为1，x的负元素为1x。以上各例的完整证明留给读者完成。二、线性空间的结构由于线性空间中已建立了线性的运算工具，因此可类似于n维向量空间中的做法，考察元素间的线性相关性和线性空间的结构。为习惯起见，以后线性空间中元素仍称为向量。定义2：设12,,,r为数域P上的线性空间V中的一组向量，若有P中不全为零的一组数12,,,rkkk，使得11220rrkkk，则称12,,,r线性相关，否则称为线性无关。显然，若使得11220rrkkk成立的数12,,,rkkk只能全为0，则向量组12,,,r必是线性无关的。由此可知，单个非零向量也是线性无关的。定义3：设线性空间V中有一组非零向量12,,,r，满足：（1）12,,,r线性无关；（2）V中任一向量均可由12,,,r线性表示。则称12,,,r为V的一组基，数r称为V的维数，记为dimV。注1：线性空间的基不是唯一的，但其维数是唯一确定的。注2：线性空间的基可以理解为空间中的参照系，能将所有元素线性表示出来。定理1：设12,,,n为数域P上线性空间V的一组基，则对于任何向量V，存在唯一一组数12,,,nkkkP，使得1122nnkkk，从而112212,,,nnnVkkkkkkP。证明：对于向量1122nnkkk，若有一组数12,,,nkkkP，使得1122nnkkk，则111222()()()0nnnkkkkkk。由基12,,,n的线性无关性可知，1122,,,nnkkkkkk。因此，向量在基12,,,n下的线性表示是唯一的。由基的定义可知，112212,,,nnnVkkkkkkP。由线性运算的封闭性可知，对于任意12,,,nkkkP，1122nnkkkV，从而112212,,,nnnkkkkkkPV。因此，112212,,,nnnVkkkkkkP。注：集合112212,,,nnnkkkkkkP称为线性空间V的结构表示。1122nnkkk称为向量在基12,,,n下的结构表达式。若将记为1212,,,nnkkk（），n维向量12nkkk称为在基12,,,n下的坐标。例8：1,0,,0,1,,00,0,,1TTT（）,（0）,,（）为nP中的一组基，ndimPn；100010000000000000000000001mnmnmn，，，为mnP中的一组基，mndimPmn；211,,,,nxxx为[]nPx（所有以P中数为系数，次数不超过1n的多项式的集合）中的一组基，[]ndimPxn；11,,,,nxx中任意有限个向量均为[]Px或[,]Cab中线性无关的向量组，因而[]Px或[,]Cab均不是有限维的线性空间。以上结论由读者自行证明。例9：试证1112212210111111====00001011EEEE，，，为线性空间22R中的一组基，并求矩阵2102B在这组基下的坐标。证明：设1112123214220kEkEkEkE，则1234234344+++++00=+00kkkkkkkkkk。由此可得，1234====0kkkk。因此，11122122EEEE，，，线性无关。对于22R中的任意矩阵=abAcd，总有11122122=()()()AabEbcEcdEdE，因此，11122122EEEE，，，为22R中的一组基，并且矩阵2102B在这组基下的坐标为(1,1,2,2)T。注：若令1112123214222102kEkEkEkE，可得1234234344=2=1=0=2kkkkkkkkkk解之即得，12341,1,2,2kkkk。从而矩阵2102B在基11122122EEEE，，，下的坐标为(1,1,2,2)T。三、基变换、过渡矩阵和坐标变换在实际问题中，某个参照系中的描述和分析较为复杂和困难时，往往需要建立新的参照系，使得原问题形式简化和分析简单。就像转换观察角度后，问题的形式和性质可以变得更加简单明了。因此，当线性空间的一组基被理解为空间中的一种参照系时，自然就存在基之间的转换。定义4：设12,,,n和12,,,n为线性空间V中的两组基，若11112121nnppp21212222nnppp…………………1122nnnnnnppp则矩阵()ijnPp称为从基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵。将上述基变换表达式简记为1212,,,,,,nnP，称之为基变换公式。定理2：线性空间基之间的过渡矩阵是可逆的。证明：设从基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为P，则1212,,,,,,nnP。对于任何列向量12,,,Tnkkk，120nkkPk时，必有112212112212,,,,,,0nnnnnnkkkkkkkPkk。由基12,,,n的线性无关性，可得120nkkk。再由线性代数知识可知，过渡矩阵P是可逆的。推论：设P为基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵，则基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为1P。证明：设基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为Q，则由1212,,,,,,nnP，1212,,,,,,nnQ可得121212,,,,,,=,,,nnnPQP。比较左、右对应项在基12,,,n下表达式的系数，可得111QP（记为E），即1QP。这说明12,,,n到12,,,n的过渡矩阵为1P。注：由一组基12,,,n和一个可逆矩阵P，可构造出另一组基12,,,nP。定理3：设向量在基12,,,n和基12,,,n下的坐标分别为12n和12n，P为基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵，则1122nnP或11221nnP。证明：由11221212,,,,,,nnnn（）=（）及1212,,,,,,nnP得，11221212,,,,,,nnnnP（）=（），从而1122nnP或11221nnP。注：上述公式称为向量在不同基下的坐标变换公式。例10：验证21231,,xx和21231,1,1xx均为3[]Px中的基，并求前一组基到后一组基的过渡矩阵，以及2123pxx在后一组基下的坐标。解：考察122330kkk，即21230kkxkx对任何数x成立，则由多项式理论可知123===0kkk。因而123,,是线性无关的，并构成3[]Px的一组基。由21121231231,1,12xx及矩阵111012001P可逆知，123,,也构成3[]Px的一组基，并且基123,,到基123,,的过渡矩阵为P。由2212312348(1)3(1)483pxxxx可得，p在基123,,下的坐标为483。注：也可先求出1111012001P，再计算出111140122=800133。例11：已知4R的两组基分别为1234(1,1,2,1),(0,2,1,2),(0,0,3,1),(0,0,0,4)TTTT，1234(1,0,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,1)TTTT，试求基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵。解：设12341234,,,,,,P，则1