高考数学专题——双曲线的定义及几何性质

1/7高三数学一轮复习专讲专练——双曲线一、要点精讲1、双曲线的定义与几何性质：定义1、到两个定点1F与2F的距离之差的绝对值等于定长（小于21FF）的点的轨迹2、到定点F与到定直线l的距离之比等于常数1eee（＞1）的点的轨迹标准方程22ax22by=10,0ba22ay22bx=10,0ba图形性质范围ax或ax，RyRx，ay或ay对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线xabyxbay顶点坐标0,1aA，0,2aAbB,01，bB,02aA,01，aA,020,1bB，0,2bB焦点0,1cF，0,2cFcF,01，cF,02轴实轴21AA的长为a2虚轴21BB的长为b2离心率1ace，其中22bac准线准线方程是cax2准线方程是cay22、双曲线的形状与e的关系：因为双曲线的斜率1222eaacabk，所以e越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔。资料个人收集整理，勿做商业用途3、共渐近线的双曲线系方程：与22ax22by=1有相同渐近线的双曲线系方程可设为22ax022by，若0，则双曲线的焦点在轴上；若0，则双曲线的焦点在轴上。资料个人收集整理，2/7勿做商业用途二、高考链接1、（2010安徽理）双曲线方程为2221xy，则它的右焦点坐标为A、2,02B、5,02C、6,02D、3,02．（2013年湖北）已知π04,则双曲线1C:22221sincosxy与2C:22221cossinyx的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等3．（2013课标）已知双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的离心率为52,则C的渐近线方程为（）A．14yxB．13yxC．12yxD．yx4．（2013湖南）设F1、F2是双曲线C,22221axyb(a0，b0)的两个焦点。若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，资料个人收集整理，勿做商业用途且∠PF1F2=30°，则C的离心率为____13_______.5.（2010北京）已知双曲线22221xyab的离心率为2，焦点与椭圆221259xy的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。4,030xy资料个人收集整理，勿做商业用途6．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为______．资料个人收集整理，勿做商业用途解：由题意，双曲线的焦点在x轴上且m＞0，所以e＝m2＋m＋4m＝5，所以m＝2.资料个人收集整理，勿做商业用途三、典例精讲考点一：双曲线的定义1、(2011四川)双曲线x264－y236＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________．资料个人收集整理，勿做商业用途解：双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由定义知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有20d＝ca＝108，故d＝16.资料个人收集整理，勿做商业用途3/72、平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．资料个人收集整理，勿做商业用途解：双曲线的右焦点(4,0)，点M(3，15)或(3，－15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.资料个人收集整理，勿做商业用途3．P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，资料个人收集整理，勿做商业用途则|PM|－|PN|的最大值为__________．解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－y215＝1的两焦点．资料个人收集整理，勿做商业用途当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|－|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|最小＝|PF2|－1，从而|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.资料个人收集整理，勿做商业用途4.（09辽宁）以知F是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为。解：注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0)，于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4资料个人收集整理，勿做商业用途而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.资料个人收集整理，勿做商业用途5．(2012大纲)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2=资料个人收集整理，勿做商业用途A.14B.35C.34D.45资料个人收集整理，勿做商业用途解：依题意得a＝b＝2，∴c＝2.∵|PF1|＝2|PF2|，设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m.资料个人收集整理，勿做商业用途又|PF1|－|PF2|＝22＝m.∴|PF1|＝42，|PF2|＝22.资料个人收集整理，勿做商业用途又|F1F2|＝4，∴cos∠F1PF2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C.资料个人收集整理，勿做商业用途6、ABC中，A、B、C所对三边为cba,,，0,1,0,1CB，求满足ABCsin21sinsin时，顶点A的轨迹，并画出图形。考点二：求解双曲线方程4/77、求适合下列条件的双曲线的标准方程⑴虚轴长为12，离心率为45；⑵顶点间距离为6，渐近线方程为xy23⑶与双曲线92x－162y=1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；⑷与双曲线162x－42y=1有公共焦点，且过点（32，2）.8．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝62，直线3x－3y＋5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于433.求双曲线S的方程；资料个人收集整理，勿做商业用途解析：(1)根据已知设双曲线S的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．资料个人收集整理，勿做商业用途∵e＝ca＝62，∴c＝62a，b2＝c2－a2＝a22.∴双曲线S的方程可化为x2－2y2＝a2，资料个人收集整理，勿做商业用途∵直线3x－3y＋5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于433，右焦点为62a，0，资料个人收集整理，勿做商业用途∴3×6a2＋523＝433，解方程得a＝2.∴双曲线S的方程为x2－2y2＝2.资料个人收集整理，勿做商业用途考点二：双曲线的几何性质9、设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()．资料个人收集整理，勿做商业用途A.x242－y232＝1B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D.x2132－y2122＝1资料个人收集整理，勿做商业用途解:由题意知椭圆C1的焦点坐标为：F1(－5,0)，F2(5,0)．设曲线C2上的一点P.则||PF1|－|PF2||＝8.资料个人收集整理，勿做商业用途由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.资料个人收集整理，勿做商业用途10、已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦5/7点相同．则双曲线的方程为________．资料个人收集整理，勿做商业用途解：∵双曲线的渐近线为y＝3x，∴ba＝3，①∵双曲线的一个焦点与y2＝16x的焦点相同．∴c＝4.②资料个人收集整理，勿做商业用途∴由①②可知a2＝4，b2＝12.∴双曲线的方程为x24－y212＝1.资料个人收集整理，勿做商业用途11．(2012福建)已知双曲线x24－y2b2＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()资料个人收集整理，勿做商业用途A.5B．42C．3D．5资料个人收集整理，勿做商业用途解：y2＝12x的焦点为(3,0)，由题意得，4＋b2＝9，b2＝5，双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线y＝52x的距离d＝|5×3－0|5＋4＝5.资料个人收集整理，勿做商业用途12.（08全国）设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（B）A．(22)，B．(25)，C．(25)，D．(25)，13．(2012湖南)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()资料个人收集整理，勿做商业用途A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1资料个人收集整理，勿做商业用途解：设焦距为2c，则得c＝5.点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝±bax上，得a＝2b.结合c＝5，得4b2＋b2＝25，资料个人收集整理，勿做商业用途解得b2＝5，a2＝20，所以双曲线方程为x220－y25＝1.资料个人收集整理，勿做商业用途14．(2012课标)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为()资料个人收集整理，勿做商业用途A.2B．22C．4D．8资料个人收集整理，勿做商业用途解：设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，根据题意，得抛物线的准线方程为x＝－4，代入双曲线的方程得16－y2＝a2，因为|AB|＝43，所以16－(23)2＝a2，即a2＝4，所以2a＝4，所以选C.资料个人收集整理，勿做商业用途15．(2011浙江)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()资料个人收集整理，勿做商业用途A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝2资料个人收集整理，勿做商业用途解：依题意a2－b2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y＝2x，由y＝2x，x2a2＋y2b2＝1，解得x＝±ab4a2＋b2，故6/7被椭圆截得的弦长为25ab4a2＋b2，又C1把AB三等分，所以25ab4a2＋b2＝2a3，两边平方并整理得a2＝11b2，代入a2－b2＝5得b2＝12，故选C.资料个人收集整理，勿做商业用途在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要掌握以下内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程；(3)渐近线的斜率与离心率的关系，资料个人收集整理，勿做商业用途16、(2010辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()．资料个人收集整理，勿做商业用途A.2B.3C.3＋12D.5＋12资料个人收集整理，勿做商业用途解：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，F(c,0)，B(0，b)，则kBF＝－bc，渐近线方程为y＝±bax，资料个人收集整理，勿做商业用途∴－bc·ba＝－1，即b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，解得e＝1±52.又e＞1，∴e＝5＋12.资料个人收集整理，勿做商业用途17．（2013重庆）设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相较于点O、所成的角为060的直线11AB和