高中数学均值不等式

目录2014高考导航考纲展示备考指南1.了解均值不等式的证明过程．2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.本节主要考查利用均值不等式求函数的最值．若单纯考查均值不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中；对均值不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．均值定理如果a，b∈(0，＋∞)，那么a＋b2≥ab，当且仅当____________时，等号成立．上述不等式称为均值不等式，也称为基本不等式．a＝b目录2．算术平均值与几何平均值设a0，b0，则a，b的算术平均值为____________，几何平均值为__________，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值______________它的几何平均值．大于或等于3．利用均值定理求最大、最小值(1)两个正数的积为________时，它们的和有_______；(2)两个正数的和为_______时，它们的积有________(简记为：和定积最大，积定和最小)．常数最小值常数最大值a＋b2ab目录4．常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥_________(a，b∈R)；(2)ab________(a＋b2)2(a，b∈R)；(3)a2＋b22______(a＋b2)2(a，b∈R)；(4)ba＋ab≥_______(a，b同号且不为零)．2ab≤≥2思考探究上述四个不等式等号成立的条件是什么？提示：满足a＝b.目录课前热身1．“a0且b0”是“a＋b2≥ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A目录2．(教材习题改编)函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()A．(－∞，－2)∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)解析：选C.∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号．目录3．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B.①②不正确，③正确，x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2－1＝1.目录答案：－24．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________.解析：∵t＞0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．5．长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为________．答案：36cm2目录考点探究讲练互动考点突破考点1利用均值不等式证明不等式已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.例1【证明】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bca＋cab≥2bca·cab＝2c；bca＋abc≥2bca·abc＝2b；目录cab＋abc≥2cab·abc＝2a.以上三式相加得：2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)，即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.【名师点评】利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．目录跟踪训练1．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．目录考点2利用均值不等式求最值(1)设0x2，求函数y＝x4－2x的最大值；(2)求4a－2＋a的取值范围；(3)已知x0，y0，且x＋y＝1，求3x＋4y的最小值．例2【解】(1)∵0x2，∴2－x0，∴y＝x4－2x＝2·x2－x≤2·x＋2－x2＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值是2.目录(2)显然a≠2，当a2时，a－20，∴4a－2＋a＝4a－2＋(a－2)＋2≥24a－2·a－2＋2＝6，当且仅当4a－2＝a－2，即a＝4时取等号，当a2时，a－20，∴4a－2＋a＝4a－2＋(a－2)＋2＝－[42－a＋(2－a)]＋2≤－242－a·2－a＋2＝－2，当且仅当42－a＝2－a，即a＝0时取等号，∴4a－2＋a的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．目录(3)∵x0，y0，且x＋y＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(x＋y)＝7＋3yx＋4xy≥7＋23yx·4xy＝7＋43，当且仅当3yx＝4xy，即2x＝3y时等号成立，∴3x＋4y的最小值为7＋43.目录【误区警示】对于第(2)小题中变形为a－2＋4a－2＋2后，易忽视了a－2的符号不定，从而得原式≥6这样的错误结论，同时当a－20时要注意变号；第(3)小题要求根据条件求最值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关键，方法是在式子上乘以(x＋y)．利用均值不等式求最值时，要注意三个条件，即：“一正、二定、三相等”，本题常见的误解为：目录∵x0，y0，x＋y＝1≥2xy，∴xy≤14，∴1xy≥4，3x＋4y≥212xy≥248＝83，此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件，3x＝4y和x＝y同时成立是不可能的．所以在不等式连续放缩的时候，要时刻注意是否在同一条件下进行放缩，放缩时还要注意有目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况．目录跟踪训练2．把本例(3)中的条件改为x0，y0且3x＋4y＝1，求x＋y的最小值．解：∵x0，y0且3x＋4y＝1，∴x＋y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3＋4xy＋3yx＋4≥7＋2·4xy·3yx＝7＋43，当且仅当4xy＝3yx，即2x＝3y时取等号，∴x＋y的最小值为7＋43.目录考点3均值不等式的实际应用(2013·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？例3目录(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入16(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．目录【解】(1)设每件定价为t元，依题意，有8－t－251×0.2t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．目录(2)依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋15x有解．等价于x＞25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．目录【名师点评】(1)利用均值不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用均值不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用均值不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．目录跟踪训练3.(2013·聊城质检)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．目录(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．解：(1)设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝360x，所以y＝225x＋3602x－360(x＞2)．目录(2)∵x＞2，∴225x＋3602x≥2225x×3602x＝10800.∴y＝225x＋3602x－360≥10440.当且仅当225x＝3602x时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元．目录方法感悟1．合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值(如例2)．2．当多次使用均值不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．目录名师讲坛精彩呈现例易错警示均值不等式中等号成立的条件把握不准致误已知a，b均为正实数，且a＋b＝1，求y＝a＋1ab＋1b的最小值．【常见错误】本题常见错误是将原式化为y＝ab＋1ab＋ba＋ab之后直接利用均值不等式求出最小值为4，错因在两次利用均值不等式，等号不能同时成立．目录【正解】y＝a＋1ab＋1b＝ab＋1ab＋ba＋ab≥ab＋1ab＋2＝ab＋1ab2＝4ab＋1ab－3ab2≥24ab·1ab－3×a＋b22＝4－322＝254.当且仅当a＝b＝12时，y＝a＋1ab＋1b取最小值，最小值为254.目录【防范措施】(1)利用均值不等式求最值，一定要注意应用均值不等式成立的条件：即一正、二定、三相等，否则求解时会出现等号成立的条件不具备而出错，若在同一题目中，两次或两次以上利用均值不等式，等号应同时成立．(2)本题若将原式化为y＝2ab＋ab－2，则可设ab＝t，由基本不等式t≤a＋b22＝14，进而利用函数单调性求出y的最小值．目录跟踪训练4．(2013·郑州质检)若a＞b＞0，则代数式a2＋1ba－b的最小值为()A．2B．3C．4D．5目录解析：选C.依题意得a－b＞0，所以代数式a2＋1ba－b≥a2＋1b＋a－b22＝a2＋4a2≥2a2·4a2＝4，当且仅当b＝a－b＞0a2＝4a2，即a＝2，b＝22时取等号，因此a2＋1ba－b的最小值是4，选C.目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放