高数教案第十章重积分

1高等数学教案章节题目第十章重积分§10-1二重积分的概念及性质课型理论课教学目的理解二重积分的概念，了解二重积分性质。重点二重积分的概念，性质难点如何运用二重积分的性质去解决问题参考书目同上教具教学后记教学过程（一）、复习上节内容（二）、讲授§10-1二重积分的概念及性质一、二重积分的概念（一）引例1.曲顶柱体的体积2.平面薄片的质量（二）二重积分的定义1．定义：2.几个事实二、二重积分的性质三、二重积分的几何意义（三）、本次课内容小结（四）、布置作业2第十章重积分§10-1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念（一）引例1.曲顶柱体的体积设有一空间立体,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面(.)zfxy。当(,)xyD时,(,)fxy在D上连续且(,)0fxy,以后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:(1)用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域1，2，，n，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成n个小曲顶柱体1，2，，n。（假设i所对应的小曲顶柱体为i,这里i既代表第i个小区域,又表示它的面积值,i既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)图10-1-1从而1niiV(将化整为零)(2)由于(,)fxy连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱3体近似地看作小平顶柱体,于是iiiiiiif()()()(以不变之高代替变高,求i的近似值)(3)整个曲顶柱体的体积近似值为Vfiiiin()1(4)为得到V的精确值,只需让这n个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设n个小区域直径中的最大者为,则Vfniiiilim(),012.平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的区域D,它在,xy处的面密度为,xy,这里,0xy,而且,xy在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。图10-1-2将D分成n个小区域1，2，，n，用i记i的直径,i既代表第i个小区域又代表它的面积。当1maxiin很小时,由于,xy连续,每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,那么第i小块区域的近似质量可取为(,)(,)iiiiii4于是niiiiM1),(Miiiinlim(,)01两种实际意义完全不同的问题,最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。（二）二重积分的定义1．定义：设,fxy是闭区域D上的有界函数,将区域D分成个小区域12,,,n,其中,i既表示第i个小区域,也表示它的面积,i表示它的直径。max{}1ini(,)iii作乘积(,)(1,2,)iiifin作和式1(,)niiiif若极限01lim,niiiif存在,则称此极限值为函数,fxy在区域D上的二重积分,记作,Dfxyd。即,Dfxyd01lim,niiiif其中:,fxy称之为被积函数,,fxyd称之为被积表达式,d称之为面积元素,,xy称之为积分变量,D称之为积分区域,1,niiiif称之为积分和式。2．几个事实(1)二重积分的存在定理若,fxy在闭区域D上连续,则,fxy在D上的二重积分存在。声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。(2),Dfxyd中的面积元素d象征着积分和式中的i。5图10-1-3由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d记作dxdy(并称dxdy为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为,Dfxydxdy。(3)若,0fxy,二重积分表示以,fxy为曲顶,以D为底的曲顶柱体的体积。二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1.线性性[(,)(,)](,)(,)]fxygxydfxydgxydDDD其中:,是常数。2.对区域的可加性若区域D分为两个部分区域12,DD,则fxydfxydfxydDDD(,)(,)(,)213.若在D上,,1fxy,为区域D的面积,则1ddDD几何意义:高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4.若在D上,,,fxyxy,则有不等式DDdyxdyxf),(),(6特别地,由于,,,fxyfxyfxy，有dyxfdyxfDD),(),(5.估值不等式设M与m分别是,fxy在闭区域D上最大值和最小值,是M的面积,则DMdyxfm),(6.二重积分的中值定理设函数,fxy在闭区域D上连续,是D的面积,则在D上至少存在一点,,使得Dfdyxf),(),(7、对称性（偶倍奇零）设函数,fxy在闭区域D上连续,D关于x轴对称,D位于x轴上方的部分为1D,在D上(1)(,)(,),fxyfxy则(,)dDfxy12(,)dDfxy(2)(,)(,),fxyfxy则(,)d0Dfxy当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍有类似结果.例1比较下列各对二重积分的大小（1）2()Dxyd与3()Dxyd，其中22:(2)(1)2Dxy。（2）ln()Dxyd与2[ln()]Dxyd，其中D是三角形区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)。例2判断积分2222341ddxyxyxy的正负号.[负]例3估计下列积分之值22ddI:10100coscosDxyDxyxy[1.96I2]三、二重积分的几何意义71．若(,)0fxy，(,)Dfxyd表示曲顶柱体的体积2．若(,)0fxy，(,)Dfxyd表示曲顶柱体的体积的负值3．(,)Dfxyd表示曲顶柱体的体积的代数和例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.[3163R]小结：二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；二重积分的性质。作业：习题10-1（P136）基础题：4(1);5(1)8高等数学教案章节题目第十章重积分§10-2二重积分的计算法（一）课型理论课教学目的深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧重点熟练掌握二重积分计算难点对积分区域的划分参考书目同上教具教学后记本节内容掌握的不够理想。教学过程（一）、复习上节内容（二）讲授§10-2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分1、x-型区域，y-型区域。2、二重积分化二次积分时应注意的问题3．求体积4．更换积分次序（四）、本次课内容小结（五）、布置作业9§10-2二重积分的计算法利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。一、利用直角坐标计算二重积分１、x-型区域，y-型区域我们用几何观点来讨论二重积分,Dfxyd的计算问题。讨论中,我们假定,0fxy；假定积分区域D可用不等式axbxyx12()()表示,其中12,xx在,ab上连续。图10-2-1图10-2-2据二重积分的几何意义可知,,Dfxyd的值等于以D为底,以曲面,zfxy为顶的曲顶柱体的体积。图10-2-3在区间,ab上任意取定一个点0x,作平行于yoz面的平面0xx,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间1020,xx为底,曲线0,zfxy为曲边的曲边梯形,其面积为201000,xxAxfxydy10一般地,过区间,ab上任一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为21,xxAxfxydy利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为VAxadxfxydydxbxxab()(,)()()12从而有dxdyyxfdyxfbaxxD)(2)(1),(),((1)上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把x看作常数,),(yxf只看作y的函数,对),(yxf计算从)(1x到)(2x的定积分,然后把所得的结果(它是x的函数)再对x从a到b计算定积分。这个先对y,后对x的二次积分也常记作fxyddxfxydyDabxx(,)(,)()()12在上述讨论中,假定了,0fxy，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(yxf(在D上连续),公式(1)总是成立的。类似地,如果积分区域D可以用下述不等式cydyxy,()()12表示,且函数1()y,2()y在[,]cd上连续,,fxy在D上连续,则fxydfxydxdydyfxydxDyycdcdyy(,)(,)(,)()()()()1212(2)11图10-2-4图10-2-5显然,(2)式是先对x,后对y的二次积分。2．二重积分化二次积分时应注意的问题（1）.积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I型(或II型)区域,用平行于y轴(x轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。（2）.积分限的确定二重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法--几何法。画出积分区域D的图形(假设的图形如下)图10-2-6在,ab上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D的边界有两个交点))(,(1xx与))(,(2xx,这里的)(1x、)(2x就是将x,看作常数而对y积分时的下限和上限；又因x是在区间,ab上任意取的,所以再将x看作变量而对x积分时,积分的下限为a、上限为b。例1.计算d,DIxy其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.12（可用X–型区域，Y–型区域分别求解）[98]例2.计算d,Dxy其中D是抛物线2yx及直线2yx所围成的闭区域.（先对x后对y积分）[458]例3.计算sindd,Dxxyx其中D是直线,0,yxy所围成的闭区域.[2]（先对y后对x积分）例4.交换下列积分顺序22222820020d(,)dd(,)dxxIxfxyyxfxyy关键画图[22802d(,)dyyyfxyx]例5.计算2ln(1)dd,DIxyyxy其中D由24,yx3,1yxx所围成.关键：画图，切割积分区域，利用对称性[0]3．求体积思考例6.求由曲面zxy222及zxy6222所围成的立体的体积。解1.作出该立体的简图,并确定它在xoy面上的投影区域图10-2-7消去变量z得一垂直于xoy面的柱面222xy,立体镶嵌在其中,立体在xoy面的投影区域就是该柱面在xoy