线性方程组解的判定

用消元法解线性方程组得知，线性方程组解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解．归纳求解过程，实际上就是对方程组(2.6.1)的增广矩阵11121121222212()nnmmmnmaaabaaabaaabAB，2.7线性方程组解的情况判定返回1/28下一页下一页上一页上一页返回2/28上一页上一页下一页下一页进行初等行变换，将其化成如下形式的阶梯形矩阵：2.7线性方程组解的情况判定返回3/28上一页上一页下一页下一页，(2.7.1)0000000000001222221111211rrrnrrnrnrddccdcccdcccc2.7线性方程组解的情况判定其中，或),2,1(0ricii00000000000000000001222211111rrrnrsnsknsddccdcccdccc．(2.7.2)返回4/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定由定理2.6.1可知，阶梯形矩阵(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程组与方程组(2.6.1)是同解方程组，于是由矩阵(2.7.1)和(2.7.2)可得方程组(2.7.1)的解的结论:1.当时，阶梯形矩阵(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程组中的第个方程“”是一个矛盾方程，因此，方程组(2.6.1)无解．01rd1r10rd返回5/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定2.当时，方程组(2.6.1)有解．并且解有两种情况：01rd(1)如果，则阶梯形矩阵(2.7.1)表示的方程组为nrnnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc2222211212111，，．返回6/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定，，的值．因此，方程组(2.6.1)有唯一解.nx1nx1x(2)如果，则阶梯形矩阵(2.7.1)表示的方程组为nrrnrnrrrnnrrnnrrdxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc222222111212111，，．返回7/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定将后个未知量项移至等号的右端，得rnnrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc11211222222111111212111，，，其中，，为自由未知量．因此，方程组(2.6.1)有无穷多解．1rxnx返回8/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定定理2.7.1(线性方程组有解判别定理)线性方程组(2.6.1)有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等．即()(,)rrAAB．推论1线性方程组(2.6.1)有唯一解的充分必要条件是．()(,)rrnAAB返回9/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定推论2线性方程组(2.6.1)有无穷多解的充分必要条件是．(A)()rrnAB，推论3齐次线性方程组(2.6.2)只有零解的充分必要条件是．nr)(A推论4齐次线性方程组(2.6.2)有非零的充分必要条件是．nr)(A返回10/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定特别地，当齐次线性方程组(2.6.2)中，方程个数少于未知量个数时，必有．这时方程(2.6.2)一定有非零解.)(nmnr)(A返回11/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定例1判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？(1)42363271132321321321321xxxxxxxxxxxx，，，；返回12/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定(2)523632721132321321321321xxxxxxxxxxxx，，，；(3)52363271132321321321321xxxxxxxxxxxx，，，．返回13/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定2977028770421011321123111117()21163124AB，解(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即返回14/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定因为，，两者不等，所以方程组无解．()4rAB，3)(Ar17000700421011321.10000700421011321返回15/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即123111127()23163125AB，因为，所以方程组有无穷多解．()()2(3)rrnABA，00000000411011321返回16/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定(3)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即123111117()23163125AB，因为，所以方程组有唯一解．()()3rrnABA，．00000700421011321返回17/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定例2判别下列齐次方程组是否有非零解？016124032730445208734321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx，，，．返回18/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定解用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即161241327344528731A85102723202018108731返回19/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定1213001313002018108731因为，所以齐次方程组只有零解．nr4)(A．10001313002018108731返回20/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定例3问，取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？abbaxxxxxxxx3213213122312，，．返回21/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定解由350011101201ba．1021()113221abAB，241011101201ba返回22/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定当时，，故方程组有唯一解；5a()()3rrAAB，当而时，，故方程组有无穷多解．5a3b()()2rrAAB，当而时，，，故方程组无解；3b5a2)(Ar()rAB，3返回23/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定例4已知总成本是产量的二次函数yx2cxbxay．根据统计资料，产量与总成本之间有如表2-1所示的数据．试求总成本函数中的，，．abc返回24/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定表2-1某厂某阶段产量与总成本统计表时期产量(千台)总成本(万元)xy第1期第2期第3期61041016020370返回25/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定解将，，代入已知二次函数模型中，得方程组),(11yx),(22yx),(33yx3704002016010010104366cbacbacba，，．利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再求解．即返回26/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定701400014161010436611636104()110100160120400370AB，26636414056644010436615.0100601086061返回27/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定5.0100601050001．方程组的解为：，，．因此总成本函数为50a6b5.0c25.0650xxy．返回28/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定返回28/28上一页上一页下一页下一页课堂小结齐次线性方程组0Ax非齐次线性方程组bAx()()rrnAAB，;有唯一解bAx()()rArnAB，有无穷多解.bAx;0只有零解Ax()rAn.0有非零解Axnr)(A返回28/28上一页上一页下一页下一页课堂练习1、判断下列方程解的情况(1)1231231213232342485211xxxxxxxxxx123123121323234248529xxxxxxxxxx(2)1231231213232342485211xxxxxxxxxx(3)11232342()410850211AB，解：(1)11230584058405841123058400000000()()2(4)rrnABA，所以方程组有无穷多解．返回28/28上一页上一页下一页下一页11232342()41085029AB，解：(2)11230584058405841123058400000002返回28/28上一页上一页下一页下一页1123058400020000因为，，两者不等，所以方程组无解．()3rAB，()2rA返回28/28上一页上一页下一页下一页11232342()410850211AB，解：(3)112305840584051241123058400000040返回28/28上一页上一页下一页下一页1123058400400000因为，所以方程组有唯一解．()()3rrnABA，2、问，取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？1231231232366032xxxxxxxxx返回28/28上一页上一页下一页下一页解由1236()116032AB，123603360891812360112089181236011200172