含有参数的分式方程

【问题一】解含有参数的分式方程例如：解关于x的方程11(1)1aax分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。解：去分母，方程两边同时乘以1x得：1(1)1axx整理方程得：(1)2axa∵1a，∴10a，∴21axa检验，当21axa时，10x∴原分式方程的解为21axa小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。练习：解关于x的方程10(0,1)1mmmxx且（1mxm）【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值例如：当a为何值时，关于x的方程12325xaxa的解为0.分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。解：当x=0是方程的解时有0123025aa，解得15a当15a时，50a所以15a是方程23152aa的解.所以当15a时，原方程的解为0.小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。练习：当a为何值时，关于x的方程2334axax的解为1.（3a）【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值例如：已知关于x的方程233xmxx的解为正数，试求m的取值范围.分析：将m看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m的关系式，注意方程有意义这个前提条件.解：去分母得：2(3)xxm解得6xm∵原方程的解为正数，∴0x，即60m……………①又∵原方程要有意义∴30x，即63m……………②由①②可得6m且3m所以，当6m且3m时，方程的解为正数.小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。练习：若关于x的方程2122212xxxaxxxx的解为负数，试求a的取值范围.（5a且7a）【问题四】已知含有参数的分式方程有增根，求参数的值例如：已知关于x的方程211xkxx有增根，求k的值.分析：分式方程的增根不是原分式方程的解，而是分式方程去分母后所得的整式方程的解中使得最简公分母为0的未知数的值.解：去分母，等式两边同时乘以1x，得22xkx，解得2xk∵分式方程有增根，∴10x，即1x∴21k，解得1k所以1k时，原方程有增根.小结：含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法.①解含有参数的分式方程（用含有参数的代数式表示未知数的值）；②确定增根（最简公分母为0）；③将增根的值代入整式方程的解，求出参数.练习：已知关于x的方程212122kxxxx有增根，求k的值.变式：已知关于x的方程212221(2)(1)xxxaxxxxx无增根，求a的值.【问题五】已知含有参数的分式方程无解，求参数的值例如：已知关于x的方程3xmmx无解，求m的值.分析：分式方程无解包含两种情况，①分式方程所转化成的整式方程无解；②分式方程所转化成的整式方程有解，但是这个解使最简公分母为0.解：去分母，等式两边同时乘以3x，∵原方程的解为正且原式有意义，则满足030xx即6063mm解得6m且3m得(3)xmmx………①当方程①无解时，则原方程也无解，方程①化为(1)4mxm，当1040mm时，方程①无解，此时1m；当方程①有解，而这个解又恰好是原方程的增根，此时原方程也无解，所以，当方程①的解为3x时原方程无解，将3x代入方程①，得30m，故3m.综上所诉：当1m或3m时，原方程无解.小结：含有参数的分式方程无解求参数的一般方法.①将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式（axb）；②讨论整式方程无解的情况；（有可能整式方程一定有解）③讨论整式方程的解为增根的情况.练习：已知关于x的方程322133xaxxx无解，求a的值.