机械设计优化作业

1、优化概述优化设计是用数学规划理论和计算机自动选优技术的有机结合来求解最优化问题。对工程问题进行优化设计，首先需要将工程问题转化成数学模型，即用优化设计的数学表达式描述工程设计问题。然后，按照数学模型的特点选择合适的优化方法和计算程序，运用计算机求解，获得最优设计方案。2、优化设计与传统设计的比较机械产品设计工作的任务就是使设计的产品既具有优良的技术性能指标，又能满足生产的工艺性、使用的可靠性和安全性要求，且消耗和成本最低等。机械产品的设计，一般需要经过需求分析、市场调查、方案设计、结构设计、分析计算、工程绘图和编制技术文件等一系列工作过程。传统设计方法通常是在调查分析的基础上，参照同类产品，通过估算、经验类比或试验等方法来确定产品的初步设计方案，然后对产品的设计参数进行强度、刚度和稳定性能分析计算，检查各项性能是否满足设计指标要求。如果不能满足要求，则根据经验或直观判断对设计参数进行修改。整个传统设计的过程是人工试凑和定性分析比较的过程。实践证明，按照传统方法得出的设计方案，可能存在有较大改进和提高的余地。在传统设计中也存在“优选”的思想，设计人员可以在有限的几种合格设计方案中，按照一定的设计指标进行分析评价，选出较好的方案。但是由于传统设计方法受到计算方法和条件的限制，设计者不得不依靠经验，进行类比、推断和直观判断等一系列智力工作，这是很难找出最优设计方案的。优化设计理论的研究和应用实践，使传统设计方法发生了根本变革，从经验、感性和类比为主的传统设计方法过渡到科学、理性和立足于计算分析的现代设计方法，机械产品设计正在逐步向自动化、集成化和智能方向发展。3、机械优化设计中的方法3.1一维搜索方法一维搜索方法是机械优化方法中最基本一种优化方法，也是优化方法的基础。其中试探方法和插值方法为主要方法。常见的一维搜索方法有：黄金分割法、裴波纳契法、二次插值法、三次插值法等等。3.2无约束优化方法无约束优化方法是最优化技术中几位重要和基本的内容之一，是求解复杂优化问题的基础。几种典型的无约束优化方法有：最速下降法、牛顿型方法、共轭梯度法、变尺度法、坐标轮换法、鲍威尔法、单纯形法等。3.3约束优化方法机械优化中的大多数问题都属于有约束的，约束优化方法是求解复杂优化问题的重要方法。典型的约束优化方法有方向搜索法、复合形法、可行方向法、惩处函数法、增广乘子法等。约束优化中的直接解法包括随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。它的思路是直接从优化问题的可行域内选择初始点，决定可行搜索方向得到目标函数下降的新点，完成一次迭代后再进行下一次的搜索。直接法原理简单，方法适用。直接法迭代过程无论合适停止都将获得比初始点好的点。约束优化中的间接法有惩处函数法和增广乘子法等。它的基本思路是将约束优化问题中的函数进行特殊加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原来的优化问题转化成一个或者一系列的无约束优化问题，再对新函数进行无约束计算，从而获得原约束优化问题的最优解。间接法可以有效的处理具有等式约束条件的约束优化问题，并且算法的效率和数值计算稳定性很好。但由于加权因子比较难确定，选取不当会影响收敛速度和计算精度，甚至会导致计算失败。3.4多目标函数优化方法多目标优化方法是求解多目标优化问题的重要方法。在机械优化设计中，某个设计并不是只有一项设计指标要求最优化。例如汽车变速箱齿轮常常要求：齿轮质量尽可能小、齿轮抗疲劳点蚀的能力尽可能高、相互啮合的齿轮的弯曲强度尽可能相同、大小齿轮其齿根的磨损量尽可能相同、变速箱中间轴的轴向力尽可能相等、制造成本尽可能低。像这样尽可能达到几个的设计指标的最优化问题，称作多目标函数优化问题。多目标函数优化问题的解决方法很多，其中主要的有两大类，一类是把多目标函数优化问题转化成一个或者一系列单目标函数优化问题求解，以此解作为多目标函数优化问题的解；另一类是直接求出非劣解，然后从中选择较好解。3.5离散变量的优化设计方法离散变量优化方法是指专门研究变量集合中的某些或全部变量自定义在离散值域上的一种数学规划方法。主要离散变量的优化方法有：1按照连续变量处理和修整的优化方法，如凑整解法、拟离散法、离散惩罚函数法；2离散变量随机型优化方法，如离散变量随机实验法、随机离散搜索法；3离散变量搜索优化方法，如启发式组合优化方法、整数梯度法、离散变量复合形法；4其他离散变量优化方法，如非线性隐枚举法、分支定界法、网格法。3.6模糊优化设计模糊优化设计法是将模糊信息和因素量化,建立由模糊约束条件、模糊变量以及模糊目标函数组成的模糊数学模型,再通过从模糊到非模糊的变化来实现模糊数学模型的转化,最终利用优化算法进行求解。4、惩罚函数法惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的求解约束优化问题的间接解法，其特点是基本构思简单，可求解等式约束、不等式约束以及两种约束兼有的优化问题。4.1惩罚函数法的基本原理惩罚函数法的基本原理是将约束优化问题fnRminmjgtsj,,2,10..nlkhk.,2,10中的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合成新的目标函数——惩罚函数，即lkkkmjjkkkhHrgGrfrr121121,,即将约束优化问题转化成kkrr21,,min的无约束优化问题，通过求解无约束优化问题，以期得到原约束优化问题的最优解。为此，需按一定的法则改变加权因子的值，构成一系列无约束优化问题，求得一系列的无约束最优解，并不断地逼近原约束优化问题的最优解。因此惩罚函数法又称序列无约束极小化方法，即SUMT法。式中的mjjkXgGr11和lkkkXhHr12，根据它们在惩罚函数中的作用，分别称为障碍项和惩罚项。障碍项的作用是当迭代点在可性域内时，在迭代过程中将阻止迭代点越出可性域；惩罚项的作用是当迭代点在非可性域或不满足等式约束条件时，在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或等式约束面。根据惩罚函数在迭代过程中迭代点是否为可行点，惩罚函数点又分为内点惩罚函数法，外点惩罚函数法和混合惩罚函数法。4.2内点惩罚函数法内点惩罚函数法将惩罚函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能求解具有不等式约束的优化问题。4.2.1内点惩罚函数法的形式对于只有不等式约束的优化问题fnRminmjgtsj,,2,10..转化后的惩罚函数的形式为mjjkkgrfr11,或mjjkkgrfr1ln,式中kr—惩罚因子，它满足如下关系：0min0210kkrrrr和由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式可知，当迭代点趋于边界时，起作用约束函数的值趋近于0，导致障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，这就好像在可行域边界上筑起了一道“围墙”，使迭代点始终在可行域内，因此，也只有当惩罚因子kr趋近于0时，才能求得约束边界上的最优解。4.2.2内点法的计算步骤（1）选取适当的初始惩罚因子r(0)，递减系数c，计算精度21,。（2）在可行域内选择一个初始点X(0)，令k0。（3）构造惩罚函数kr,，选择适当的无约束优化方法，从X(k)点出发求kr,min的最优点kr*。（4）用终止准则判别迭代是否终止，若满足终止准则，则终止迭代计算，并以kr*，krf*作为原问题的约束最优解；否则，转向下一步。（5）计算kkcrr1，kr*0，1kk，转向步骤（3）。内点法的程序框图如图4.1所示，其中R为预先给定的某个实数，当惩罚因子r大于此值时，不需要经过终止准则的判断。YNYNY图4.1内点法程序框图开始输入：0r，0，c，1，2，R0kkr,min得kr*?Rrkkkcrr1kr*01*1*kkrr?,,,21*1**kkkrrrkr**krff**结束1kk内点法有一个突出的优点，就是当给定一个可行方案之后，通过迭代计算，可给出一系列逐步改进的可行设计方案。因此，只要实际设计要求允许，就可以选择其中任何一个无约束最优点kr*作为原问题的设计方案，而不一定选择最后的约束最优点*作为原问题的设计方案，这样，一方面扩大了设计人员选择方案的余地，另一方面也可使所选的设计方案留有一定的储备能力。5、工程实例的应用如图5.1所示的人字架由两个钢管组成，其顶点受外力2F=3×105N。已知人字架跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1×105MPa，材料密度p=7.8×103kg／m，许用压应力δy=420MPa。求钢管压应力δ不超过许用压应力δy和失稳临界应力δc的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D使钢管总质量m为最小。图5.1人字架的受力（1）建立优化设计数学模型设计变量取X=21xx=hD所设计的空心传动轴应满足以下条件：强度约束条件：y经整理得yhTDhBF2122稳定性约束条件：c2222221228hBDTEhTDhBF取值范围：0D0h所以数学模型为目标函数2212222minxBTxhBDTVf约束函数042012122221221hTxxBFhTDhBFgy0882222122121222222122221222xBxTEhTxxBFhBDTEhTDhBFg013xg024xg（2）优化方法综合上述分析可得优化数学模型是一个具有2个设计变量，4个约束条件的有约束非线性最优化问题，属于小型优化设计，选用内点惩罚函数法，能用来求解具有不等式约束的优化问题。（3）编程首先编制两个函数文件，分别保存为目标函数和约束函数。目标函数文件：functionf=objfun(x)B=760;T=2.5;P1=7.8e-3;f=P1*2*T*pi*x(1)*sqrt(B^2+x(2)^2);约束函数文件：function[G,ceq]=confun(x)B=760;T=2.5;P=150000;E=2.1e5;S=P*sqrt(B^2+x(2)^2)/x(2);R=S/(pi*T*x(1));G(1)=R-420;N=0.125*pi^2*E*(x(1)^2+T^2)/(B^2+x(2)^2);G(2)=R-N;ceq=[];在MATLAB命令窗口给出搜索值和线性约束，并调用优化程序：x0=[100;700];vlb=[0;0];vub=[];options=optimset('Algorithm','interior-point','Display','iter');[x,fval]=fmincon('objfun',x0,[],[],[],[],vlb,vub,'confun',options)（4）结果分析在matlab中运算结果如图5.2、5.3所示。图5.2图5.3优化程序经过12次迭代计算收敛，得到结果如下：x=64.3083760.0000fval=8.4686e+3即搜索到极值点x*的坐标，D*=6.43cm，h*=76cm最小结构质量m*=8.47kg。