06—07-1线代(B)-A卷

(A卷)第1页共6页上海交通大学线性代数(B类)试卷----A卷2007-01-10姓名___________班级__________学号______________题号一二三四总分得分一、单项选择题（每题3分，共15分）1．设nmA为实矩阵,则线性方程组0Ax只有零解是矩阵)(AAT为正定矩阵的(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)无关条件。2．已知32121,,,,为四维列向量组，且行列式4,,,1321A，1,,,2321B，则行列式BA(A)40；(B)16；(C)3；(D)40。3．设向量组s，，，21)2(s线性无关，且可由向量组s，，，21线性表示，则以下结论中不能成立的是(A)向量组s，，，21线性无关；(B)对任一个j，向量组sj，，，2线性相关；(C)存在一个j，向量组sj，，，2线性无关；(D)向量组s，，，21与向量组s，，，21等价。4．对于n元齐次线性方程组0Ax，以下命题中，正确的是(A)若A的列向量组线性无关，则0Ax有非零解；(B)若A的行向量组线性无关，则0Ax有非零解；(C)若A的列向量组线性相关，则0Ax有非零解；(D)若A的行向量组线性相关，则0Ax有非零解。5．设A为n阶非奇异矩阵)2(n，A为A的伴随矩阵，则(A)AAA11||)(；(B)AAA||)(1；(C)111||)(AAA；(D)11||)(AAA。(A卷)第2页共6页二、填空题（每题3分，共15分）6．列向量111是矩阵2135212baA的对应特征值的一个特征向量.则＝，a＝，b＝。7．设n阶向量Txx)00(，，，，，0x；矩阵TEA,且TxEA11，则x_________。8．已知实二次型322123222132,12224),(xxxaxxxxxxxf正定,则常数a的取值范围为________________。9．设矩阵33)(jiaA，jiA是||A中元素jia的代数余子式，jijiAa，13121132aaa，已知011a，则11a。10．设403212221A，11a，已知向量A与线性相关，则a＝。三、计算题(每题9分,共54分)11．(1)求方程0)(xf的根，其中2123112362543122)(22xxxf；(A卷)第3页共6页(2)计算n阶行列式nnnnnnnnxxxxyxxxyxxxyxxxyxxxD121121121121。12．设实向量Taaa321，其中01a，3T，矩阵TEA(1)试说明矩阵A能相似于对角阵；(2)求可逆矩阵P，使APP1为对角阵，并写出此对角阵；(3)求行列式||EA。(A卷)第4页共6页13．已知线性方程组2)1(2221)1(321321321kxxkkxxkxkxxxkkx，试讨论：(1)k取何值时，方程组无解；(2)k取何值时,方程有唯一解，并求出其解；(3)k取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。14.设实二次型323123212221321845452)(xxxxxxxxxxxxf，，，求：正交变换yQx，将f化为标准型。(A卷)第5页共6页15.设3R的基为1111，0112，0013。(1)试由321，，构造3R的一个标准正交基321，，；(2)求由基321321，，到，，的过渡矩阵P；(3)已知向量321，求向量在基321，，下的坐标。16.已知BA,为3阶矩阵，且满足方程EBBA421，其中200021021B。(1)证明：矩阵EA2可逆；(2)求矩阵A。(A卷)第6页共6页四、证明题(每题8分,共16分)17．设向量组321，，线性无关，且可由向量组321，，线性表示。证明：(1)向量组321，，线性无关；(2)向量组321，，与321，，等价；(3)向量组321，，中存在某个向量j，使得向量组32，，j线性无关。18．设BA，是n阶矩阵,||)(BEf是B的特征多项式。证明:矩阵)(Af可逆的充分必要条件为B的特征值都不是A的特征值。(A卷)第7页共6页线性代数（B）（06－07－1）期末试卷（A）参考答案一、选择题1.(C)2.(D)3.(B)4.(C)5.(A)二、填空题6．-1,-3,0；7.1；8.2/7||a；9．76；10.－1。三、计算题11．（1）)9)(1(5)(22xxxf，x1，－1，3，－3；（4分）（2）nininnyxyD112)1()()1(。（9分）12．(1)A为实对称矩阵，所以相似于对角阵。(2分)(2)因为2)()(TTEA，所以21是A的特征值。又秩1)(Tr，0||||TAE，所以132是A的另两个特征值。设Txxx),,(321为A对应132的特征向量，则由0),(332211xaxaxa，得A对应132的线性无关的特征向量TTaaaa),0,(,)0,,(132121，令13123212100),,(aaaaaaaP则1000100021APP。(7分)(3)EA的特征值为－2＋1=－1，1+1=2，1+1=2，因此4||EA。(9分)13．(1)0k时，3)(2)(ArAr，无解(2分)(2)20kk，时，3)()(ArAr，唯一解TTkkxxx)0,1,2(),,(321(5分)(3)2k时，2)()(ArAr，无穷多解,通解201010321cxxx。(9分)14．32534513253503153252Q；(8分)23222110yyyf。(9分)(A卷)第8页共6页15．(1)111311,211612,011213，（3分）(2)3001202222361),,(),,(3211321P（6分）(3)321216336123（9分）注：本题答案不唯一，如0011，0102，1003，则001011111P，3212316．(1)EEBEAEABAB8)4)(2(842)4(81)2(1EBEA（4分）(2)4(4)2ABAABEB，200011020)4(21EBBA(9分）四、证明题17．(1))(3321，，r3)(321，，r，故3)(321，，r，(2分)(2))(3321，，r)(321，，r，且321，，可由321，，线性表示,故向量组321，，与321，，等价(5分)(2)若不，则对任意j，32，，j线性相关，32，线性无关,故321，，由32，线性表示，)(3321，，r2)(32，r，矛盾。(8分)18.设i是矩阵B的特征值，ni~1，则)(||)(1iniBEf，(2分)于是)()(1EAAfini，行列式|||)(|1EAAfini故niAEAfAfii~1,0||0|)(|)(可逆都不是A的特征值。(8分)