工程光学-郁道银版-习题解答一题不落第十二章光的衍射

第十二章光的衍射1．波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。解：（1）零强度点有sin(1,2,3....................)ann∴中央亮纹的角半宽度为0a∴亮纹半宽度290035010500100.010.02510rffma（2）第一亮纹，有1sin4.493a9134.4934.493500100.02863.140.02510rada21150100.02860.014314.3rfmmm同理224.6rmm（3）衍射光强20sinII，其中sina当sinan时为暗纹，tg为亮纹∴对应级数0II00114.4930.0471827.7250.01694.........2．平行光斜入射到单缝上，证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为20sin[(sinsin)](sinsin)aiIIai式中，0I是中央亮纹中心强度；a是缝宽；是衍射角，i是入射角（见图12-50）（2）中央亮纹的角半宽度为cosai证明：(1)与垂直入射相比,只需将方向余弦sinl变为sinsini即可(2)令sinsinai∴对于中央亮斑sinsinia3．在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为30mm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？解：设直径为a，则有fda93632.8100.030.01261.510fammd4.利用第三节的结果导出外径和内径分别为a和b的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当2ab时，（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。解：已知半径为a的圆孔的衍射场振幅为122'aJkaEpacka同样，圆屏使P点振幅减小122'bJkbEpbckb因此圆环在P点产生的振幅为iθ图12-50习题3图ba图12-51习题6图22112'abaJkabJkbEEEckakb∴P点强度为222112224'aJkabJkbIEckakb对于衍射场中心，0有2224422222222204'4'22442abababIcccab当2ab时，（1）222242224904'28416abaIccaca∴09016aII（2）第一暗纹有22110aJkabJkbkakb11122aaJkaaJk查表可有3.144ka3.1443.1440.512kaaa4．（1）一束直径为2mm的氦氖激光（632.8nm）自地面射向月球，已知地面和月球相距33.7610km，问在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m的光束，该用多大倍数的望远镜？将扩束后的光束再射向月球，在月球上的光斑为多大？解：（1）圆孔衍射角半宽度为0.61a∴传到月球上时光斑直径为9830.610.61632.8102223.7610290.3110Dllkma（2）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。直径980.610.61632.810'2'223.7610145.2'2Dllma5．若望远镜能分辨角距离为7310rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？解：970.610.615501022.243102Dm人眼分辨率为41'2.910rad∴放大率472.910900310M6．若要使照相机感光胶片能分辨2m的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当时线；（2）照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？（光波波长为550nm）解：（1）胶片分辨率为31500210N线/毫米（2）1.220.341490DNNd7．一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长400nm时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45，分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应设计成多大？（设人眼的最小分辨率为'1）。解：（1）960.610.61400100.2910sin0.85mnu（2）提高1.45'1.70.85（3）人眼在明视距离处能够分辨的长度为422502502.9107.2510emmmm∴放大率至少为237.2510425'0.29101.7emmMmm8．在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长632.8nm，透镜焦距50fcm，观察到两相邻亮条纹之间的距离1.5emm，并且第四级亮纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。解：（1）双缝衍射亮纹条件为sin,0,1,2..............dmm取微分有cosdm令1m，且cos1，则d又effd933632.8100.50.21101.510fdme（2）衍射极小位置为sinan,1,2............0,1,2............adnmnm取1,4nm0.054damm（3）对于第一级亮纹有sind即2sin2d又4dasin4asin4a∴第一级亮纹的相对强度222102sinsinsin240.81sin24II同理32000.4,0.09IIII9．在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm，折射率为1.5的玻璃片。设双缝间距为1.5m，缝宽为0.5m，用波长500nm的平行光垂直入射。试分析该双缝的夫琅和费衍射图样。解：衍射图样不变，干涉位置变为0sindnndm10．一块光栅的宽度为10cm，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500nm。问（1）它产生的波长632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光是波长为632.8nm和波长之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？解：（1）611210500mmmmdmN对于一级主极大有1sin18.43d313.3410cosfrmmNd同理324.0810rmm（2）sindm∴线色散coslmfd∴1，2级衍射线色散为15000.26/0.002cos18.43lmmmmnmmm20.64/lmmnm而0.5nm∴谱线间距110.26/0.50.13llmmnmmm20.32lmm11．设计一块光栅，要求（1）使波长600nm的第2级谱线的衍射角030，（2）色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长600nm的2级谱线处能分辨0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线？解：为使600nm的二级谱线的衍射角30，则光栅常数d应满足962600102.410sinsin30mdm∵色散cosdmdd∴d越小色散越大∴62.410dm若第三级缺级，应有630.810amd由条件（4）600150000.022Nm∴光栅总长度36LNdmm可看到最高级条纹为69sin2.410460010ddm∴可看到0,1,2级，3级缺级，共5条条纹。12．为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦氖激光的模结构（两个模之间的频率差为450MHz），光栅需要有多宽？解：632.8nm对应的频率为144.74110Hz641445010632.86104.74110nm∴光栅总条纹数为64632.81.00510610Nm∴长度为611.005108791200LNdmm13．证明光束斜入射时，（1）光栅衍射强度分布公式为220sinsinsinNII式中sinsinai，sinsindi为衍射角；i为入射角，见图12-53，N为光栅缝数。（2）若光栅常数d，光栅形成主级大的条件可以写为cosdiim0,1,2,...m证明：（1）与垂直入射相比，有22sinsindisinsindi同理sinsinai（2）光栅形成主极大有sinsindimiθ图12-53习题18图2cossin22iidmd,0icoscos,sin222iiii∴有cosdiim14．有一多缝衍射屏如图12-54所示，缝数为2N，缝宽为a，缝间不透明部分的宽度依次为a和3a。试求正入射情况下，这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。解：相邻两个缝产生的相位差为，隔一缝相位差26sina122sina或224sina单缝产生的复振幅为sinA，其中sina∴多光束产生干涉有1212121123121...........sin...........iNiiiiNiiieeeeEPAeeeesin111iNiieAee1sinsin2exp1122iNAiNe设复数11exp12iMeiN则*214cos2MM3aaa图12-54习题19图∴透射光强22410sinsin24cos22NII令sinb1,4,12220sinsin64cos26NII15．一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为07712。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长500nm的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有多大？（3）试问空气间隔为1cm，精细度为25的法布里-珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。解：（1）光栅刻痕数为47.810Nd闪耀级数为612sin7712'2sin3001350010mmdmmm∴分辨本领为610mN（2）自由光谱范围为50038.513nmm（3）F-P标准具的分辨为620.970.9710hAmss