北师大版数学八年级上册全册复习典型例题

北师大版八年级上册期末总复习典型题CONTENT目录第一章勾股定理第二章实数第三章位置与坐标第四章一次函数第五章二元一次方程组第六章数据分析第七章平行线的证明第一章勾股定理知识归纳1．勾股定理定义：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么各种表达形式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则c2＝，a2＝，b2＝.作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．2．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足：，那么这个三角形是直角三角形．3．勾股数满足a2＋b2＝c2的三个，称为勾股数．a2＋b2＝c2a2＋b2c2－b2c2－a2a2＋b2＝c2正整数考点攻略考点一应用勾股定理计算例1已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边长的平方．[解析]因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3,4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边．解：(1)当两直角边长分别为3和4时，第三边长的平方为32＋42＝25；(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为42－32＝7.易错警示应用勾股定理计算时，易出现下列两种错误：(1)忽视勾股定理成立的条件，在非直角三角形中使用a2＋b2＝c2；(2)当题目给出两条边长而没有给出图形时，可能考虑不周而漏解．考点二直角三角形的判别例2如图1－1，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝14BC，请说明：AF⊥EF.图1－1[解析]要说明AF⊥EF，可说明△AEF是直角三角形，只要根据勾股定理的逆定理说明AF2＋EF2＝AE2就可以了．解：连接AE，设正方形边长为a，则DF＝FC＝a2，EC＝a4.在Rt△ECF中，有EF2＝a22＋a42＝516a2.在Rt△FDA中，有AF2＝a22＋a2＝54a2.在Rt△ABE中，有BE＝a－14a＝34a，∵AE2＝a2＋34a2＝2516a2，∴AF2＋EF2＝AE2.根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90°，∴AF⊥EF.易错警示根据a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条短边及最长边的平方和，导致错误．考点三勾股定理的实际应用例3如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250m范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁？图1－2[解析]要判断公路AB段是否需要封锁，则需要比较点C到AB的距离与250m的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面积计算点C到AB的距离．解：作CD⊥AB于D，因为BC＝400m，AC＝300m，∠ACB＝90°，根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即3002＋4002＝AB2，所以AB＝500m.由三角形的面积可知：12AB·CD＝12BC·AC，所以500CD＝400×300，所以CD＝240m.因为240＜250，即点C到AB的距离小于250m，所以有危险，公路AB段需要暂时封锁．转化思想是一种重要的数学思想，它的应用十分广泛，如通过作高可以将非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决，通过建模可以将实际问题转化为数学问题来解决等．方法技巧例4李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有一个长方体盒子，底面正方形的边长为2cm，高为3cm，在长方体盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点，再走对角线BF；乙生说：我认为应由A先走对角线AC，再走C到F点；丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学的说法正确？并说明理由．(参考数据：29≈5.392)图1－3第一章|过关测试[解析]要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方案类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了．解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图1－4所示：则AE＝AB＋BE＝4(cm)，EF＝3cm，连接AF，在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝42＋32＝25，∴AF＝5(cm)．连接BF，∵AFAB＋BF，∴丙的方法比甲的好．第一章|过关测试按丁生的办法，将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，如图1－5所示：则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2cm，连接AF，在Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝52＋22＝29≈5.392，∴AF＝5.39cm.连接AC，∵AFAC＋CF，∴丁的方法比乙的好．比较丙生与丁生的计算结果，知丙生的说法正确．图1－4图1－5最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用，一般做法是把长方体(或其他几何体)侧面展开，将立体图形问题转化为平面图形问题，再根据两点之间线段最短，用勾股定理求解．方法技巧考点四验证勾股定理例5一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图1－6，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2＋b2＝c2.图1－6[解析]观察图形会发现易证△ABC≌△C′D′A，得∠CAC′＝90°，于是梯形BCC′D′的面积既等于12(C′D′＋BC)·BD′，又等于S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′，于是定理得证．证明：由题意可知四边形BCC′D′为直角梯形，因为Rt△ABC≌Rt△AB′C′，所以∠BAC＝∠B′AC′，∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°.所以S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′，12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2，即a2＋b2＝c2.勾股定理的应用：1．如图1－7，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC边长的平方和为()A.74B.75C.64D．70图1－7C2．如图1－8所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格中，找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样的点有________个．图1－86[解析]如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．图1－93.已知三角形的三边为a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是直角三角形吗？解：∵a2＝916，b2＝2516，c2＝1，∴a2＋c2＝b2，∴三角形是直角三角形．4．在△ABC中，AC＝2a，BC＝a2＋1，AB＝a2－1，其中a＞1，△ABC是不是直角三角形？如果是，哪一个角是直角？解：因为AC2＋AB2＝4a2＋a4－2a2＋1＝a4＋2a2＋1.BC2＝(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1，即AC2＋AB2＝BC2.所以△ABC是直角三角形，∠A为直角．5．如果一个三角形的三边长分别为a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(mn)，求证：三角形是直角三角形．证明：∵a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋2m2n2＋n4.c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4，∴a2＋b2＝c2.所以根据勾股定理的逆定理得该三角形是直角三角形．6.B、C是河岸边两点，A为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝50m，则河宽AD为()图1－10A．252mB．25mC.5033mD．253mB7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是________．图1－11818π8．如图1－12，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝________.图1－122.44[解析]由勾股定理的几何意义可知：S1＋S2＝1,S2＋S3＝1.21,S3＋S4＝1.44，∴S1＋S2＋S3＋S4＝2.44.9．如图1－13所示，有一圆柱体，它的高为40cm，底面周长为60cm.在圆柱的下底面A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是________cm.图1－135010．如图1－14，是一块长、宽、高分别是4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________cm.5图1－14[解析]因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面、右面．由勾股定理得AB2＝(2＋4)2＋12＝37；(2)展开前面、上面．由勾股定理得AB2＝(1＋4)2＋22＝29；(3)展开左面、上面．由勾股定理得AB2＝(2＋1)2＋42＝25.所以最短路径的长为AB＝5cm.第一章|过关测试11.如图1－15所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？图1－15解：如图1－16所示，过直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D.如图1－16所示，在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝2.6×＝1.3(米)，所以AB2＝22－1.32＝2.31.因为4－2.6＝1.4,1.42＝1.96,2.31＞1.96，所以卡车可以通过．答：卡车可以通过图1－1612.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．图1－17是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1＋S2＋S3＝15，则S2的值是________．图1－17513.如图1－18，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为()图1－18A．6B．5C.6D．36A14．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是________．图1－191015.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？图1－20解：(1)如图，AB＝AD2＋DB2＝4＋6＋32＋12＝170.(2)如图，AB＝AD2＋DB2＝2＋6＋32＋12＝122.(3)如图，AB＝AD2＋DB2＝4＋6＋32＋12＝170.(2)如图，AB＝AD2＋DB2＝2＋6＋32＋12＝122.故蜘蛛沿这个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为122.16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以三角形的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，图中的三个等腰直