第1讲--必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算-教师版

第1页共15页教学课题人教版必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算教学目标知识目标：（1）掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题（2）运用类比的方法，对照实数的相等与不等的关系，探究集合之间的包含与相等关系（3）能利用Venn图表达集合间的关系；探索直观图示（Venn图）对理解抽象概念的作用(4)通过探讨集合与集合间的关系，对照数或式的算术运算和代数运算，探究集合之间的运算.能力目标：(1)发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界(2)初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力(3)使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力.教学重点与难点重点：集合间的基本关系以及基本运算难点：子集、真子集的判断、空集与非空集合的分类谈论教学过程课堂导学1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}第2页共15页4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.【考点1】集合的含义新知一：集合的表示法1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并写在大括号内。2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。【例1】用列举法表示下列集合（1）不大于10的非负偶数：（2）我国古代的四大发明：（3）方程组31xyxy的解集：【例2】用描述法表示下列集合（1）{1,1}：（2）大于3的全体偶数构成的集合：（3）由3216,,xyxNyN所确定的点组成的集合：【点评】用描述法表示集合的步骤为：①在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，②画一条竖线，③在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。变式1：用列举法表示下列集合（1）{05}AxNx≤；（2）2{560}Bxxx；（3）3(,)|26yxCxyyx。变式2：用描述法表示下列集合（1）偶数集；（2）{2,4,6,8}；（3）坐标平面内在第一象限的点组成的集合。解析：【例1】解：（1）{0,2,4,6,8,10}；（2），造纸术指南针，火药，印刷术；（3）{(2,1)}【例2】解：（1）2{|10}xRx；（2）｛大于3的全体偶数构成的集合｝；（3）{(,)3216,,}xyxyxNyN。注意对比（1）与（3）中的两个集合，一个是数集，一个是点集，有着本质上不同，分析时一定要细心。变式1、解：（1）5,4,3,2,1；（2）3,2；（3）3(,)|(1,4)26yxxyyx变式2、解：（1）{|2,}xxnnZ；（2）{|2,14,}xxnnnZ≤≤；（3）{(,)0,0}xyxy且温馨提示：1、列举法要注意：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开第3页共15页（2）集合的元素必须是明确的；（3）各元素的出现无顺序；（4）集合里的元素不能重复2、描述法要注意：（1）写清楚该集合中元素满足性质；（2）不能出现未被说明的字母；（3）多层描述时，应当准确使用“或”，“且”；（4）所有描述的内容都要写在集合的括号内。新知二：集合的含义1、集合的含义：指定的某些对象的全体就构成一个集合。2、集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素。集合一般用大写字母表示，如集合A,B…等，元素一般用小写字母表示。如,,abc…等。3、元素与集合的关系：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作【例1】下列研究的对象能否构成集合？（1）世界上最高的山峰；（2）我国的小河流；（3）中国国旗的颜色；（4）著名的数学家；（5）立方等于本身的实数；（6）不等式2511x的正整数解。变式1、下列各组对象不能组成集合的是（）A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数D．函数1yx图象上所有的点★【例2】由22,4,2xxx三个实数构成一个集合，若3是集合中元素，求实数x的值。★★变式2、由23,,2mmm三个实数构成一个集合，求实数m的取值范围。解析：【例1】解：（1）能；（2）不能；（3）能；（4）不能；（5）能；（6）能【点评】判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，即元素确定性。变式1、B【例2】解：当32x时，解得1x，而此时243xx与集合中的元素具有互异性矛盾，当234xx时，解得3x或1x（舍去），∵3x时，25x符合题意，∴3x。【点评】要认清集合中元素的属性，特别要注意元素的无序性和互异性。第4页共15页变式2、解：由集合的互异性可知：223322mmmmmm，得1m且0m且3m。【考点2】集合间的基本关系新知一：区别集合与元素、集合与集合关系的表示例1：某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合。则下列包含关系哪些成立？,,,ABBAACCA。试用Venn图表示这三个集合的关系。解：,ABACVenn图：略变式1：用适当的符号填空：（1）2{0,2,4}；（2）2{21,}xxkkZ；（3）12，1234，，，；（4）{3,}xxkkN{6,}xxkkN。（5）高一（1）班同学组成的集合A，高一年级同学组成的集合B，则A、B的关系为.变式1、解：（1）；(2)；（3）；（4）（5）AB新知二：集合相等如果ABBA且，则AB。即ABABBA★★例2：已知集合1,,Pab，221,,Qab，且QP，求221ab的值。解：分两种情况讨论：①221001aaaabbbb或2212ab；②220101abaabbba或，这与集合的性质矛盾，∴2212ab。【点评】含字母的两个集合相等，并不意味着按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性。★★★变式2：集合{|2,}AxxkkZ，{|21,}BxxkkZ，{|41,}CxxkkZ，又,aAbB，则有（）A．abAB．abBC．abCD．ab不属于,,ABC中的任一个答案：B解：设Zkka11,2，2221,bkkZ，∴12122212()1abkkkkB。新知三：子集、真子集、空集①如果集合AB，并且存在元素xB且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作：AB。②不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集。★例3：写出集合{1,0,1}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.解：子集为：，{1}，{0}，{1}，{1,0}，{1,1}，{0,1}，{1,0,1}。真子集为：，{1}，{0}，{1}，{1,0}，{1,1}，{0,1}。注意：检验集合元素的互异性第5页共15页【点评】若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有21n，非空子集有21n个，非空真子集有22n个。★★变式3：已知集合1,21,2,3,4,5P，那么满足条件的集合P的个数是（）A．5B．6C．7D．8答案：D解：满足条件的集合P可为：1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5，共8个。★★例4：已知集合{13}Axx≤≤，2{,}ByyxxA，{2,}CyyxaxA，若满足CB，求实数a的取值范围。解：2{,}{09}ByyxxAyy≤≤，{2,}{26}CyyxaxAyaya≤≤，∵CB，∴202369aaa≥≤≤≤。★变式4：集合1,2,3,4A，2{0}BxNxa，若满足BA，求实数a的值组成的集合。答案：1,4,9,16★★例5：已知集合A{|25}xx≤，{|121}Bxmxm≤≤且BA，求实数m的取值范围。解：∵BA（1）当B时，则121mm，解得2m。（2）当B时，则12121512mmmm≤≤，解得23m≤≤。综上所述，实数m的取值范围是m≤3。【点评】当出现“AB”这一关系时，首先是讨论A有没有可能为空集，因为A时满足AB。★★变式5：若集合2|20Mxxx，|10Nxax，且NM，求实数a的值。解：由22021xxx或，因此，2,1M。（1）若0a时，得N，此时，NM；（2）若0a时，得1{}Na。若NM，满足1121aa或，解得112aa或。故所求实数a的值为0或12或1。【点评】当出现“AB”这一关系时，首先是讨论A有没有可能为空集，因为A时满足AB。【考点3】集合的新定义问题★★例6若集合A具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1x∈A.第6页共15页则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.A．0B．1C．2D．3答案C解析(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，1x∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．★★★(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为()A．77B．49C．45D．30答案C解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|