高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设()fx，xI，若存在函数()Fx，使得对任意xI均有()()Fxfx或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx的一个原函数。()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记为()()fxdxFxC注：（1）若()fx连续，则必可积；（2）若(),()FxGx均为()fx的原函数，则()()FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。性质性质1：()()dfxdxfxdx或()()dfxdxfxdx；性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC；性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx，,为非零常数。计算方法第一换元积分法（凑微分法）设()fu的原函数为()Fu，()ux可导，则有换元公式：(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC第二类换元积分法设()xt单调、可导且导数不为零，[()]()ftt有原函数()Ft，则1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC分部积分法()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)2dxxx思路:被积函数5221xxx，由积分表中的公式（2）可解。解：5322223dxxdxxCxx★(2)31()xdxx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：11411133322213()()24dxxxdxxdxxdxxxCx3x★(3)22xxdx（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2232122ln23xxxxdxdxxdxxC（）★(4)(3)xxdx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：315322222(3)325xdxxdxxdxxxCx★★(5)4223311xxdxx思路:观察到422223311311xxxxx后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：42232233113arctan11xxdxxdxdxxxCxx★★(6)221xdxx思路:注意到222221111111xxxxx，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：2221arctan.11xdxdxdxxxCxx注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。★(7)xdxxxx34134（-+-）2思路:分项积分。解：3411342xdxxdxdxxdxxdxxxxx34134（-+-）2223134ln||.423xxxxC★(8)2232()11dxxx思路:分项积分。解：22223211()323arctan2arcsin.1111dxdxdxxxCxxxx★★(9)xxxdx思路:xxx？看到11172488xxxxx，直接积分。解：715888.15xxxdxxdxxC★★(10)221(1)dxxx思路:裂项分项积分。解：222222111111()arctan.(1)11dxdxdxdxxCxxxxxxx★(11)211xxedxe解：21(1)(1)(1).11xxxxxxxeeedxdxedxexCee★★(12)3xxedx思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然33xxxee（）。解：333.ln(3)xxxxeedxedxCe（）（）★★(13)2cotxdx思路:应用三角恒等式“22cotcsc1xx”。解：22cot(csc1)cotxdxxdxxxC★★(14)23523xxxdx思路:被积函数235222533xxxx（），积分没困难。解：2()2352232525.33ln2ln3xxxxxdxdxxC（（））★★(15)2cos2xdx思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解：21cos11cossin.2222xxddxxxC★★(16)11cos2dxx思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解：221111sectan.1cos2222cosdxdxxdxxCxx★(17)cos2cossinxdxxx思路:不难，关键知道“22cos2cossin(cossin)(cossin)xxxxxxx”。解：cos2(cossin)sincos.cossinxdxxxdxxxCxx★(18)22cos2cossinxdxxx思路:同上题方法，应用“22cos2cossinxxx”，分项积分。解：22222222cos2cossin11cossincossinsincosxxxdxdxdxxxxxxxx22cscseccottan.xdxxdxxxC★★(19)11()11xxdxxx思路:注意到被积函数2221111211111xxxxxxxxx，应用公式(5)即可。解：2111()22arcsin.111xxdxdxxCxxx★★(20)21cos1cos2xdxx思路:注意到被积函数22221cos1cos11sec1cos2222cosxxxxx，则积分易得。解：221cos11tansec.1cos2222xxxdxxdxdxCx★2、设()arccosxfxdxxC，求()fx。知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()dfxdxfxdx即可。解：等式两边对x求导数得：2211(),()11xfxfxxxx★3、设()fx的导函数为sinx，求()fx的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，1()sincosfxxdxxC所以()fx的原函数全体为：112cossinxCdxxCxC（）。★4、证明函数21,2xxeeshx和xechx都是sxechxhx-的原函数知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。解：2xxeechxshx，而22[][][]xxxxdddeeshxechxedxdxdx1()2★5、一曲线通过点2(,3)e，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为()yfx，由题意可知：1[()]dfxdxx，()ln||fxxC；又点2(,3)e在曲线上，适合方程，有23ln(),1eCC，所以曲线的方程为()ln||1.fxx★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是23(/)tms，问：（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：()yft，则由速度和位移的关系可得：23[()]3()fttfttCddt，又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()fCftt。(1)3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f米；(2)令33360360tt秒。习题4-2★1、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dxdxxdxdxxdxdx2222111(4)();(5)(5ln||);(6)(35ln||);255111(7)2();(8)(tan2);(9)(arctan3).23cos219xxdxdxedxdedxdxxxdxdxdtdtdxdxxxt2、求下列不定积分。知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！★（1）3tedt思路:凑微分。解：33311(3)33tttedtedteC★(2)3(35)xdx思路:凑微分。解：33411(35)(35)(35)(35)520xdxxxxCd★(3)132dxx思路:凑微分。解：1111(32)ln|32|.322322dxdxxCxx★(4)3153dxx思路:凑微分。解：12333311111(53)(53)(53)(53).3325353dxdxxdxxCxx★(5)(sin)xbaxedx思路:凑微分。解：11(sin)sin()()cosxxxbbbxaxedxaxdaxbedaxbeCaba★★(6)costdtt思路:如果你能看到1()t2dtdt，凑出()dt易解。解：cos2cos()2sintdttdttCt★(7)102tansecxxdx思路:凑微分。解：10210111tansectan(tan)tan.11xxdxxdxxC★★(8)lnlnlndxxxx思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。解：(ln||)(ln|ln|)ln|lnln|lnlnlnlnlnlnlnlndxdxdxxCxxxxxx★★(9)22tan11xdxxx思路:本题关键是能够看到21xdxx是什么，是什么呢？就是21xd！这有一定难度！解：22222tan1tan11ln|cos1|1xdxxxxxCxd★★(10)sincosdxxx思路:凑微分。解：方法一：倍角公式sin22sincosxxx。2csc22ln|csc2cot2|sincossin2dxdxxdxxxCxxx