绝对值培优

江云教育我们用智慧播撒爱2020-07-20数学是打开科学大门的钥匙。和绝对值有关的问题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（A）A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例2．已知：zx0，0xy，且xzy，那么yxzyzx的值（C）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y由题意得：yx3，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x0，y0，则4y=8，所以y=2,x=-6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x0，y0，则-4y=8，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x0，y0，则-2y=8，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即x0，y0，则2y=8，所以y=4,x=12例4．（整体的思想）方程xx20082008的解的个数是（D）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程aa的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．1111112220072007abababab0)()(yxzyzxyxzyzx江云教育我们用智慧播撒爱2020-07-20数学是打开科学大门的钥匙。1)1(xx201020081861641421分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2于是1111112220072007abababab200920082009112009120081413131212120092008143132121在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2，3与5，2与6，4与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x-1时，距离为-x-1,当-1x0时，距离为x+1，当x0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为1x（3）结合数轴求得23xx的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.分析：2x即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。)3(3xx即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：图1图2图3图2符合题意（4）满足341xx的x的取值范围为x-4或x-1分析：同理1x表示数轴上x与-1之间的距离，4x表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-4或x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为江云教育我们用智慧播撒爱2020-07-20数学是打开科学大门的钥匙。绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，BA表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。例7.若24513aaa的值是一个定值，求a的取值范围.例8.已知112xx，化简421x．例9.若245134xxx的值恒为常数，则x应满足怎样的条件？此常数的值为多少？小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用练习题1.如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求abacbc的值.b-1c0a12.已知2x，求32xx的最大值与最小值．3.若0abc，求abcabc的值江云教育我们用智慧播撒爱2020-07-20数学是打开科学大门的钥匙。4.有理数a，b，c，d满足1abcdabcd，求abcdabcd的值．5.试求123...2005xxxx的最小值6.已知式子：431744xxx的值恒为一个常数，求x的取值范围。数系扩张--有理数一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,nmn互质）。4、性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（0不作除数）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质：①(0)||(0)aaaaa②非负性2(||0,0)aa③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】：1、若||||||0,ababababab则的值等于多少？2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方江云教育我们用智慧播撒爱2020-07-20数学是打开科学大门的钥匙。3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求220062007()()()xabcdxabcd的值。4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么||||abab化简的结果等于（A.2aB.2aC.0D.2b5、已知2(3)|2|0ab，求ba的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么,,abbccabccaab中有几个负数？7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,aba的形式式，又可表示为0，ba，b的形式，求20062007ab。8、三个有理数,,abc的积为负数，和为正数，且||||||||||||abcabbcacXabcabbcac则321axbxcx的值是多少？9、若,,abc为整数，且20072007||||1abca，试求||||||caabbc的值。三、课堂备用练习题。1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：5917336512913248163264江云教育我们用智慧播撒爱2020-07-20数学是打开科学大门的钥匙。4、已知,ab为非负整数，且满足||1abab，求,ab的所有可能值。5、若三个有理数,,abc满足||||||1abcabc，求||abcabc的值。数系扩张--有理数（二）一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义①|||0|aa表示数a对应的点到原点的距离。②||ab表示数a、b对应的两点间的距离。2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】：1、（1）若20a，化简|2||2|aa（2）若0x，化简|||2||3|||xxxx2、设0a，且||axa，试化简|1||2|xx3、a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;abab（2）||||||;abab（3）||||;abba（4）若||ab则ab（5）若||||ab，则ab（6）若ab，则||||ab4、若|5||2|7xx，求x的取值范围。江云教育我们用智慧播撒爱2020-07-20数学是打开科学大门的钥匙。5、不相等的有理数,,abc在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果||||||abbcac，那么B点在A、C的什么位置？6、设abcd，求||||||||xaxbxcxd的最小值。7、abcde是一个五位数，abcde，求||||||||abbccdde的最大值。8、设1232006,,,,aaaa都是有理数，令1232005()Maaaa2342006()aaaa,1232006()Naaaa2342005()aaaa,试比较M、N的大小。三、【课堂备用练习题】：1、已知()|1||2||3||2002|fxxxxx求()fx的最小值。2、若|1|ab与2(1)ab互为相反数，求321ab的值。3、如果0abc，求||||||abcabc的值。4、x是什么样的有理数时，下列等式成立？（1）|(2)(4)||2||4|xxxx（2）|(76)(35)|(76)(35)xxxx5、化简下式：||||xxx江云教育我们用智慧播撒爱2020-07-20数学是打开科学大门的钥匙。02．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则|a|a＋|b|b＋|c|c＝.03．a、b、c为不等于O的有理散，则a|a|＋b|b|＋c|c|的值可能是____.01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a＋b＋C．03．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a－b|＝b－a，求a和b的值14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是()A．1998B．1999C．2000D．200102．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc＜0;②|a－b|＋|b－c|＝|a－c|；③（a－b）(b－c)(c－a)＞0；④|a|＜1－bc．其中正确的结论有()A．4个B．3个C．2个D．1个03．如果a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c＝0．那么a|a|＋b