平面向量数量积习题

ABCD平面向量数量积题(2.4～2.5数量积、应用举例)A组一、选择题:共6小题1、(易数量积)平面向量a与b的夹角为60,(1,0)a,1b,则2ab=()A.7B.7C.4D.122、(易数量积)已知正ABC△的边长为1,且BCa,CAb,则ab=()A.3B3C.2D.13、(易投影概念)已知a=5,b=3,且12ab,则向量a在向量b上的投影等于()A.125B.4C.125D.44、(中应用举例)设P是曲线1yx上一点,点P关于直线yx的对称点为Q,点O为坐标原点,则OPOQ()A.0B.1C.2D.35、(中数量积)在ABC△中,BCa,CAb,ABc,且ab=bc=ca,则ABC△的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形6、(中应用举例)已知偶函数()fx满足:()(2)fxfx,且当[0,1]x时,()sinfxx,其图象与直线12y在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12,PP,则1324PPPP等于()A.2B.4C.8D.16二、填空题:共3小题7、(易数量积)如图,在边长为1的棱形ABCD中,22ACBD=.8、(中数量积)已知a(2,1),b(,1),R,a与b的夹角为.若为锐角,则的取值范围是.9、(中数量积)在△ABC中,3,2,2ABBCA,如果不等式ACBCtBA恒成立,则实数t的取值范围是.OABCPAOCB三、解答题:共2小题10、(中应用举例)设集合{D平面向量},定义在D上的映射f,满足对任意xD,均有f(x)=x(R且0).若︱a︱=︱b︱且a、b不共线,则(f(a)f(b))(a+b)=;若)8,4(),6,3(),2,1(CBA,且()fBCAB,则.11、(中数量积)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OCxOAyOB,其中,xyR,则xy的范围是________.B组一、选择题:共6小题1、(中数量积)已知平面向量11(,)xya,22(,)xyb,若||2a,||3b,6ab,则1122xyxy的值为()A.2B.2C.23D.232、(中数量积)在平面直角坐标系xOy中作矩形OABC,已知3,4ABOA,则AC→·OB→的值为()A.0B.7C.25D.－73、已知非零向量,ab若1ab,且ab,又知(23)ab(k4)ab,则实数k的值为()A.6B.3C.－3D.－64、(中数量积)已知向量yxba,,,满足1||||ba,0ba,且2yaxybx,则|y||x|等于()A.23B.25C.2D.55、(中应用举例)如图,O,A,B是平面上的三点,向量OAa,OBb,设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点,OxyAB图4向量OPp,若a=4,b=2,则()pab=()A.8B.6C.4D.06、(中应用举例)设向量a与b的夹角为,定义a与b的“向量积”:ab是一个向量,它的模ababsin,若(3,1)a,(1,3)b,则ab().A.3B.23C.2D.4二、填空题:共3小题7、(中数量积)已知向量24,11,,a=b=.若向量()ba+b,则实数的值是.8、(中应用举例)设向量,ab满足:||3a,||4b,0ab.以,,abab为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为个.9、(中数量积)在直角坐标系xOy中,,ij分别是与x轴,y轴平行的单位向量,若在RtABC△中,AB=i+j,AC=2mij,则实数m=.三、解答题:共2小题10、(中应用举例)已知a=(1,0),b=(0,1),若向量c=(,)mn满足()()acbc0,试求点(,)mn到直线10xy的距离的最小值.11、(中数量积)如图4,已知点)1,1(A和单位圆上半部分上的动点B.(1)若OBOA,求向量OB;(2)求||OBOA的最大值.C组解答题:共2小题1、(难应用举例)已知向量(2,1)ABk,(1,)ACk.(1)若ABC△为直角三角形,求k值;(2)若ABC△为等腰直角三角形,求k值.2、(难数量积)在平面直角坐标系中,已知向量(1,2),a又点(8,0),(,),ABnt(sin,)Ckt(0)2.(1)若ABa,且5(ABOAO为坐标原点),求向量OB;(2)若向量AC与向量a共线,当4k,且sint取最大值4时,求OAOC.平面向量数量积题考答案A组1.B由已知1a,2222441411cos6047abaabb,∴27ab.2.A由题意知a与b的夹角为18060120,且1ab,∴1cos1202ab=ab,∴222233aba+bab=ab.3.D向量a在向量b上的投影等于12cos43abaaab.4.C设111(,)Pxx,则111(,)Qxx,111111111111(,)(,)2OPOQxxxxxxxx.5.D因,,abc均为非零向量,且ab=bc,得()0()bacbac,又()a+b+c=0b=a+c,∴22[()]()0a+caca=c,得a=c,同理b=a,∴a=b=c,得ABC△为正三角形.6.B依题意1234,,,PPPP四点共线,13PP与24PP同向,且1P与3P,2P与4P的横坐标都相差一个周期,所以13||2PP,24||2PP,13241324||||4PPPPPPPP.7.4ACADAB,BDADAB,则22ACBD=2222()()ACBDADABADAB=222()ADAB又1ADAB,∴222(11)4ACBD.8.1{2,且2}∵cosabab=22151.因为锐角,有0cos1,∴2210151,∴22102151,解得122.9.1(,][1,)2由题意得1AC,22BAtBCACBAtBCAC,∴22222BAtBABCtBCAC,得22233232212tt,得12t或1t.10.0;2∵︱a︱=︱b︱且a、b不共线,∴(f(a)f(b))(a+b)=(a－b)(a+b)=(22ab)=0;又(1,2)BC,有()fBC=(1,2),(2,4)AB,∴2.11.1[0,]2由222222OCxOAyOBOCxOAyOBxyOAOB,又1,0OCOAOBOAOB,∴2212xyxy,得12xy,而点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,得,[0,1]xy,于是102xy.B组1.C设,ab的夹角为,则cos6cos1,abab∴180.即a,b共线且反向,∴23a=b,121222,,33xxyy∴112223xyxy.2.D2222()()347ACOBOCOAOCOAOCOA.3.A(23)ab(k4)ab=02k2a8ab+3kab212b=0,∴6k.4.B由所给的方程组解得2x=a+by=a+b,2222xabab,22445yabab,∴|y||x|=25.5.B由BPAP,知pbpa,∴22pbpa,222ppbb222ppaa,得222216412papbab,∴()6pab.6.C∵cosabab=333222,(0,),∴1sin2,∴ababsin12222.7.13a+b=(21,41),()=ba+b1(21)1(41)0.∴13.8.4可得2225ababab,设该三角形内切圆的半径为r,则(4)(3)51rrr,∴对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实现4个交点,但不能得到5个以上的交点.9.－2或0把AB、AC平移,使得点A与原点重合,则(1,1)B、(2,)Cm,画图可知90B或90A.当90B时,0ABBC,∴(1,1)(21,1)0m,得0m;当90A时,0ABAC,∴(1,1)(2,)0m,得2m.10.解:将c=(,)mn,代入()()acbc0得(1)(1)0mmnn,∴22111()()222mn,它表示以11(,)22为圆心,22为半径的圆.∵圆心11(,)22到直线10xy的距离1112222d,∴点(,)mn到直线10xy的距离的最小值为22222dr.11.解:(1)依题意,)sin,(cosB,0(不含1个或2个端点也对))1,1(OA,)sin,(cosOB(写出1个即可),因为OBOA,所以0OBOA,即0sincos,解得4,所以)22,22(OB.(2))sin1,cos1(OBOA,则22)sin1(cos1(||θ)OBOA)cos(sin23,∴232(sincos)OAOB,令sincost,则21sin22t,即2t,∴22322(21)OAOB,有21OAOB当22,即4时,||OBOA取得最大值21.C组1.(1)(2,1)ABk,(1,)(1,1)ACkBCACABkk①若90A,则ABAC(2,1)(1,)0kk,∴1k;②若90B,则ABBC(2,1)(1,1)0kkk,得2230kk无解;③若90C,则ACBC(1,)(1,1)0kkk,得2210kk,∴12k.综上所述,当1k时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形;当12k时,ABC△是以C为直角顶点的直角三角形.(2)①当1k时,(1,1)AB,(1,1)ACAB2AC;②当12k时,(1,12)AC,BC(22,2),得422AC,842BC,ACBC;③当12k时,(1,12)AC,BC(22,2),得422AC,842BC,ACBC;综上所述,当1k时,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形.2.解:(1)可得(8,)ABnt,∵ABa,∴(8,)(1,2)0ABant,得28nt.则(2,)ABtt,又5,ABOA8OA.∴22(2)564tt,解得8t,当8t时,24n;当8t时,8n.∴(24,8)OB或(8,8)OB.(2)∵向量AC与向量a共线,∴2sin16tk,2432sin(2sin16)sin2(sin)tkkkk.∵4k,∴401k,故当4sink时,sint取最大值32k,有324k,得8k.这时,1sin2,8k,sin4t,得8t,则(4,8)OC.∴(8,0)(4,8)32OAOC.