选修2-1第一章椭圆的定义及方程课时作业

课时作业9椭圆及其标准方程时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离是()A．210B.10C.2D．22【答案】D【解析】将椭圆方程化为标准方程为x26＋y24＝1，则a2＝6，b2＝4，c2＝2，∴两焦点间距离为22.故选D.2．(2013·全国卷大纲文)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1【答案】C【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则a2＝b2＋1，当x＝1时，y＝±b2a，∴|AB|＝2b2a＝3，∴a2＝32a＋1，即2a2－3a－2＝0.∴a＝－12(舍去)或a＝2，∴b2＝3，∴方程为x24＋y23＝1.3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－8,0)，F2(8,0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A.x236＋y2100＝1B.x2400＋y2336＝1C.x2100＋y236＝1D.x220＋y212＝1【答案】C【解析】由题意知椭圆的焦点在x轴上，所以可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意知2a＝20，所以a＝10，又c＝8，所以b2＝a2－c2＝36.4．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1(y≠0)C.x216＋y29＝1(y≠0)D.x225＋y29＝1(y≠0)【答案】D【解析】因为|AB|＝8，所以|CA|＋|CB|＝18－8＝108，所以点C在以A、B为焦点的椭圆上，但由于A、B、C三点不共线，所以点C的纵坐标y≠0，所以顶点C的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．5．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过P52，－32的椭圆的标准方程是()A.x210＋y26＝1B.y210＋x26＝1C.x294＋y2254＝1D.y294＋x2254＝1【答案】A【解析】设F1(－2,0)，F2(2,0)，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意得，|PF1|＋|PF2|＝52＋22＋94＋52－22＋94＝210＝2a，∴a＝10，又c＝2，∴b2＝6，椭圆的方程为x210＋y26＝1.6．AB为过椭圆x2a2＋y2b2＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积最大值是()A．b2B．bcC．abD．ac【答案】B【解析】∵S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝12|OF|·|yA－yB|，当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.∴△ABF面积的最大值为bc.二、填空题(每小题10分，共30分)7．若点P在椭圆x22＋y2＝1上，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．【答案】1【解析】由题意得|PF1|＋|PF2|＝22，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝4，所以|PF1|·|PF2|＝2，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝1.8．椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．【答案】±34【解析】设F1(－3,0)，P(x，y)，M(0，y0)，则得－3＋x2＝0，∴x＝3，将x＝3代入x212＋y23＝1，得y＝±32，∴y0＝y＋02＝±34.9．椭圆x225＋y29＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________．【答案】4【解析】设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知MF2＝10－2＝8.又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以|ON|＝12|MF2|＝4.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)设0≤α≤2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是多少？【解析】∵x2sinα－y2cosα＝1，∴x21sinα＋y2－1cosα＝1.∵焦点在y轴上，∴a2＝－1cosα，b2＝1sinα，∴1sinα0，－1cosα1sinα，即sinα0，－1cosα1sinα，∴－tanα1，∴tanα－1，又α∈(0，π)，∴α∈(π2，3π4).11．(13分)△ABC的三边abc成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．【分析】由题意2b＝a＋c，即|BC|＋|BA|＝2|AC|＝4，结合椭圆的定义求解．【解析】设点B的坐标为(x，y)，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|AB|＝2|AC|，∴|BC|＋|BA|＝4.根据椭圆的定义知，点B的轨迹方程为x24＋y23＝1.又∵abc，∴ac，即|BC||AB|，∴(x－1)2＋y2(x＋1)2＋y2，∴x0，∴点B的轨迹是椭圆的一半，方程为x24＋y23＝1(x0)．又当x＝－2时，点B、A、C在同一直线上，不能构成△ABC，∴x≠－2.∴顶点B的轨迹方程为x24＋y23＝1(－2x0)．【总结】本题很容易忽视条件ac，因此漏掉范围x0，特别是不能构成△ABC的情况应给予考虑，从而排除不能构成△ABC的点B(－2,0)．12．(14分)已知P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆上的两个焦点．(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．【解析】(1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长2a＝4的椭圆，且b＝1，c＝3，所以|PF1|＋|PF2|＝4.①在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°.②由①②得|PF1|·|PF2|＝43.所以S△PF1F2＝33.(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得PF1→·PF2→0，即(x＋3，y)·(x－3，y)0，所以－263x263.