选修2-1抛物线及其标准方程课时作业

课时作业13抛物线及其标准方程时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是()A．y2＝94xB．x2＝43yC．y2＝－94x或x2＝－43yD．y2＝－92x或x2＝43y【答案】D【解析】∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p0)或x2＝2p′y(p′0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p，p＝94；4＝6p′，p′＝23.2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.18B．－18C．8D．－8【答案】B【解析】∵y＝ax2，∴x2＝1ay，其准线方程为y＝2，∴a0,2＝1－4a，∴a＝－18.3．设定点M(3，103)与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，点P到抛物线准线l的距离为d2，则d1＋d2取最小值时，点P坐标为()A．(0,0)B．(1，2)C．(2,2)D．(18，－12)【答案】C【解析】连接PF，则d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知d1＋d2的最小值是|MF|，当且仅当M，P，F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为y＝43(x－12)与y2＝2x，联立求得x＝2，y＝2；x＝18，y＝－12(舍去)，此时，点P的坐标为(2,2)．4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】由于C1D1⊥平面BB1C1C，连接PC1，则PC1⊥C1D1，即点P到直线C1D1的距离即PC1.因此，动点P到定点C1与定直线BC的距离相等，依抛物线的定义知，动点P的轨迹为抛物线．5．抛物线y＝14ax2(a≠0)的焦点坐标为()A．a0时为(0，a)，a0时为(0，－a)B．a0时为(0，a2)，a0时为(0，－a2)C．(0，a)D．(1a，0)【答案】C【解析】a0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)；a0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)，这时焦点在y轴负半轴上．故不论a为何值，x2＝4ay的焦点总为(0，a)，故选C.6．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在【答案】B【解析】当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，由y＝kx－1y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝2k2＋4k2＝5，∴k2＝43，即k＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．二、填空题(每小题10分，共30分)7．(2013·北京文)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．【答案】2x＝－1【解析】由p2＝1知p＝2，则准线方程为x＝－p2＝－1.8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.【答案】2【解析】如图，设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.9．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使该抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．【答案】②⑤【解析】由抛物线方程y2＝10x知，它的焦点在x轴上，∴②适合．又∵它的焦点坐标为F(52，0)，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可知kPO·kPF＝－1，∴⑤也适合，而①显然不成立，通过计算可知③、④不合题意．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知抛物线的方程如下，分别求它们的焦点坐标和准线方程．(1)y2＝ax(a0)；(2)3x＝2y2.【分析】先根据抛物线的标准方程，求出p，然后写出焦点坐标和准线方程．【解析】(1)由抛物线的标准方程y2＝ax(a0)知，2p＝a.故p2＝a4.因此，所给抛物线的焦点为(a4，0)，准线方程为x＝－a4.(2)把所给的抛物线方程变形为标准方程得y2＝32x，故2p＝32，即p2＝38.因此，所给抛物线的焦点为(38，0)，准线方程为x＝－38.【总结】根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化成标准方程，求出p2的值，即可写出焦点坐标和准线方程．11．(13分)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点．点A(－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．【分析】如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使线段PA，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小．【解析】∵点A(－2,4)在抛物线x2＝8y内部，如上图所示，设抛物线的准线为l，过P作PQ⊥l于Q，过A作AB⊥l于B.由抛物线的定义可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|.当且仅当A，P，Q三点共线时，|PF|＋|PA|的值最小，此时点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12，故当点P的坐标为(－2，12)时，|PF|＋|PA|的值最小．12．(14分)过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，求1|AF|＋1|BF|的值．【解析】已知焦点Fp2，0，设AB方程为y＝kx－p2，与y2＝2px联立，得k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p24＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，且x1＋x2＝k2p＋2pk2，x1x2＝p24.∴1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24＝k2p＋2pk2＋pp24＋p2·k2p＋2pk2＋p24＝2p(为定值)．