一起学奥数——最大和最小

风子编辑最大和最小第一课基础部分【分析】使一个分数最大，则应该使分母尽量的小，分子尽量的大。在1~100这100个连续自然数中，a-b的最小值是1，即a、b是两个连续自然数。而两个连续自然数的最大值是100+99=199这是一个非常简单的题目，但需要通过简单题目的练习，掌握利用限制条件来控制和确定部分值，并懂得最大与最小的极端情况。例2、有100个乒乓球，把它们分别放在14个盒子中，每个盒子至少放一个，能否使每个盒子放的乒乓球数不一样多？如果能，请写出每个盒子中各应放多少个乒乓球；如果不能，请说明理由。【分析】题目中给定的限制条件是：每个盒子中至少有一个乒乓球，且每个盒子中的球不一样多。请思考怎样放，所需要的乒乓球最少呢？肯定是最少的一个盒子放1个，其它依次增加一个，这样总共需要乒乓球：1+2+3+……+14=105因为105100，所以没办法做到每个盒子放的乒乓球数不一样。最大最小问题，往往就是极端状况问题，通过与极端情况的比较，可以得到定量的分析。例3、一把钥匙只能开一把锁，现在有5把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁？【分析】钥匙开锁问题，不仅是一个数学问题，很多小朋友还会错在对生活的观察不够仔细。我们先来考虑，运气非常差的情况下，第一把钥匙，要用几次才能找到匹配的锁呢？是的，4次。最后一次不用试我们也知道。这就是生活中经常碰到的“不是……，就是……。”通过试开，当找出4把钥匙后，只剩下一把钥匙和一把锁，这是，我们还需要再试吗？显然不用。显然不用。所以，最大要试的次数为：4+3+2+1=10次例4、有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为888。这类自然数中最小的是几？【分析】自然数相对小，会具有怎样的特点呢？首先是位数要少，其次是相同位数的数，最高位上的数字要比低位的小。当一个自然数各位上的数字和确定时，数字越大，所用到的数字就越少，那么，这个数字也就越小，所以，组成这个自然数的数字应该以9为主。因为888÷9=98……6，即符合要求的数，由98个9，和1个6组成，且6应该在最高位。这个数是：6999……998个9例5、把12分解为两个自然数的和，使它们的积最大，求这个最大值。【分析】在数值不大的情况下，我们可以用枚举法，把12分解成两个自然数的和，再计算这两个数的积，并找出最大的那个。为了找到规律，列表如下：12345611109876112027323536上表第三行是拆分成的两个数的乘积，最大的是36。观察表格，找到规律。当两个数的和固定时，这两个数的差越小，则积越大。周长一定，正方形的面积最大。例6、100名村名代表选举村委会主任，有三位候选人甲、乙、丙。每人只能选他们中的一人，不能弃权，前80票中，甲得到38票，乙得到32票，丙得到10票，规定谁的票最多谁当选，甲若要当选，最少还需要多少张选票？【分析】甲、乙、丙三个人中，丙已经没有可能当选（为什么？）甲要当选，得票必须比乙多。也就是说，在除丙得到的10票外，甲得到的票要多于平均数（100-10）÷2=45票。即甲应该得到46票。所以，甲若要当选，最少还需要46-38=8张票想想，还能怎么做？第二课提高部分例1、A、B都是整数，A大于B，且A×B=2009，那么A-B的最大值，最小值。【分析】因为A、B都是整数，所以先把2009分解成质因数，即2009=1×7×7×41（不要忘记1）。A-B的最大值：2009-1=2008；最小值：7×7-41=8可以通过把一个数分解成质因数，再进行重组，获得符合条件的数。例2、从1到9中选出6个不同的数填在算式：□÷□×（□+□）×（□-□），使结果最大，那么这个结果是（）。【分析】首先，我们要会把这个式子分解成三个因式。根据乘法的意义，要使积最大，就应使算式中的因数尽量大。为便于分析，我们用字母来代替上边的算式：a÷b×（c+d）×（e-f）把上面算式分成三个乘数：a÷b，c+d，e-f。要使这三个因数尽量大，则a、c、d、e要尽量大，b、f要尽量小。所以，分别可以选（9、8、7、6）和（1、2）。根据前面学过的，我们清楚，要使积最大，三个因数的值要尽量的接近。所以有：9÷1×（6+7）×（8-2）=728灵活的运用乘法性质，是解这类题的关键例3、用2、3、4、5、6这五个数组成一个三位数，如果要使这个三位数与这个两位数的乘积尽量大，那么所组成的三位数是。【分析】根据乘法积乘法算式的性质，乘法算式中的因数越大，积就越大。而一个数的高为上数字越大，这个数也就越大。另外，在各个数的和一定的情况下，两个因数越接近，乘积就越大。所以，6应该在两位数的十位上，5放在三位数的百位上。同样的道理，剩下的4应该在十位上，最后把剩下的两位数放在个位。所以这个三位数为：542（100a+10b+c）（10d+e）=1000ad+100（ae+bd）+10（be+cd）+ce例4、一排长椅共有90个座位，其中一些作为已经有人就座了。这时，有来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个位置上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有人已经就座。【分析】首先，我们对每个座位进行编号为1到90。要使原来就座的人最少，则1号空，2号坐人，3、4号可以空，此后，按空空坐的规律安排。由此可知，2、5、8……86、89上原来有人坐，符合题目要求。通过编号，排序，我们把生活问题变成了数学中的等差数列问题，我们只要球这个等差数列的个数即可。（89-2）÷3+1=30很多生活问题，可以转化为数学问题，关键是要用心去发现规律。例5、一个正方体的12条棱分别被染成红色和蓝色，每个面至少要有一条边是红色的，最少有多少条边是红色的？【分析】一条棱连着两个面，一个正方体总共6个面，因此3条棱是红色的就可以符合要求。那么是否确实可行呢？这就需要验证。大家可以找下身边的立方体（不一定要正方体）试试。这是通过先猜测，再验证的方法知识点小结