选修2-1两个向量的数量积课时作业

课时作业18两个向量的数量积时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列式子中正确的是()A．|a|·a＝a2B．|a·b|2＝a2·b2C．(a·b)·c＝a(b·c)D．|a·b|≤|a||b|【答案】D【解析】选项A，|a|·a应是一个向量，而a2是一个数．选项B，|a·b|2＝a2·b2·cos2〈a，b〉，而不是a2·b2.选项C，向量运算中没有乘法结合律．2．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2等于()A．2BA→·AC→B．2AD→·BD→C．2FG→·CA→D．2EF→·CB→【答案】B【解析】2BA→·AC→＝－a2,2AD→·BD→＝a2,2FG→·CA→＝－a2,2EF→·CA→＝－a2,2EF→·CB→＝－12a2.3．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】AB→＝AC→＋CD→＋DB→，∴AB→·CD→＝(AC→＋CD→＋DB→)·CD→＝AC→·CD→＋CD2→＋DB→·CD→＝0＋12＋0＝1，又|AB→|＝2，|CD→|＝1.∴cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|AB→||CD→|＝12×1＝12.∴a与b所成的角是60°.4．已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于()A.5B．5C．6D.6【答案】A【解析】(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝1＋1＋4－2cos60°＝5.∴|a－b＋2c|＝5.5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°【答案】B【解析】设AB＝2BB1＝2a，则AB1→·BC1→＝(AB→＋BB1→)·(BC→＋CC1→)＝AB→·BC→＋BB1→·BC→＋AB→·CC1→＋BB1→·CC1→＝2a2·cos120°＋a2＝0，∴AB1→⊥BC1→，即AB1与BC1所成角的大小为90°.6．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是()A．2B.3C.5D.7【答案】C【解析】如图所示，设AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为EF→＝EA→＋AA1→＋A1F→＝－12AB→＋AA1→＋12AC→＝－12a＋12b＋c，所以|EF|2＝|EF→|2＝EF→2＝14a2＋14b2＋c2＋2(－12a·12b＋12b·c－12a·c)＝14×22＋14×22＋22＋2×(－14)×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝5.二、填空题(每小题10分，共30分)7．已知|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－542，则〈a，b〉＝________.【答案】－135°【解析】∵cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－54212×9＝－22，∴〈a，b〉＝135°.8．已知i，j，k都是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．【答案】－2【解析】a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.9．若a，b是两个非零向量，且a2b＝b2a，则a与b的关系是________．【答案】a＝b【解析】∵a2b＝b2a，∴|a|2b＝|b|2a.∴b＝|b|2|a|2a，∴a与b共线且方向相同．又∵|b|＝|b|2|a|2|a|，∴|a|＝|b|.∴a＝b.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知三棱锥O—ABC的各个侧面都是正三角形，且棱长为1，求：(1)OA→·OB→；(2)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)；(3)|OA→＋OB→＋OC→|.【解析】设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°，CA→＝a－c，CB→＝b－c，(1)OA→·OB→＝|a||b|·cos60°＝12.(2)由(1)知，a·b＝a·c＝b·c＝12，则(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)＝(a＋b)·(a＋b－2c)＝a2＋b2＋2a·b－2a·c－2b·c＝1.(3)|OA→＋OB→＋OC→|＝a＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝6.11．(13分)如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若CM＝BN＝a(0a2)．(1)求MN的长度；(2)当a为何值时，MN的长最小．【分析】根据向量的基本运算，利用NM→＝NF→＋FA→＋AM→这一关系来求|MN→|2，这是求长度问题的常见方法；利用向量的坐标形式来处理问题，使几何问题彻底向代数问题转化．【解析】(1)AC＝2，BF＝2，CM＝BN＝a(0a2)．AM→＝(1－a2)AC→，NF→＝(1－a2)BF→.NM→＝NF→＋FA→＋AM→＝(1－a2)BF→＋FA→＋(1－a2)AC→＝(1－a2)(BE→＋BA→)＋FA→＋(1－a2)(AB→＋BC→)＝(1－a2)(BE→＋BA→)－BE→＋(1－a2)(－BA→＋BC→)＝(1－a2)BC→＋(－a2)BE→.|NM→|＝|NM→|2＝[1－a2BC→－a2BE→]2＝1－a22－2a21－a2BC→·BE→＋12a2＝a－222＋12(0a2)．(2)由(1)知当a＝22时，|MN→|的最小值为22，即M，N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为22.12．(14分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为正方形ABCD和AA1B1B的中心．(1)求证：AC1⊥平面A1BD；(2)求D1M→与CN→夹角的余弦值．【解析】(1)证明：设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则AC1→＝a＋b＋c，BD→＝b－a，A1B→＝a－c，注意到a·b＝a·c＝b·c＝0，则有AC1→·BD→＝(a＋b＋c)·(b－a)＝b2－a2＋b·c－a·c＝|b|2－|a|2＝0.同理，AC1→·A1B→＝0，∴AC1→⊥BD→，AC1→⊥A1B→，∴AC1→⊥BD，AC1⊥A1B.又A1B与BD相交，∴AC1→⊥平面A1BD.(2)解：设正方体的棱长为a，D1M→＝D1D→＋DM→＝－c＋12(a－b)，CN→＝CB→＋BN→＝－b＋12(c－a)，∴|D1M→|2＝[－c＋12(a－b)]2＝a2＋14a2＋14a2＝32a2，∴|D1M→|＝62a.同理|CN→|＝62a.又D1M→·CN→＝[－c＋12(a－b)]·[－b＋12(c－a)]＝－12|c|2－14|a|2＋12|b|2＝－14a2，∴cos〈D1M→，CN→〉＝－14a262a·62a＝－16.