高中数学必修5第一章--解三角形检测题及答案

第1页共10页第一章解三角形一、选择题1．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()．A．10kmB．103kmC．105kmD．107km2．在△ABC中，若2cosAa＝2cosBb＝2cosCc，则△ABC是()．A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则c边的对角等于()．A．15°B．45°C．60°D．120°4．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶3∶2，则sinA∶sinB∶sinC＝()．A．3∶2∶1B．2∶3∶1C．1∶2∶3D．1∶3∶25．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()．A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形6．在△ABC中，a＝23，b＝22，∠B＝45°，则∠A为()．A．30°或150°B．60°C．60°或120°D．30°第2页共10页7．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有两个不等的实根，则A为()．A．锐角B．直角C．钝角D．不存在8．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为()．A．223B．233C．23D．339．在△ABC中，cbacba－＋－＋333＝c2，sinA·sinB＝43，则△ABC一定是()．A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形10．根据下列条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判断正确的是()．A．①只有一解，②也只有一解．B．①有两解，②也有两解．C．①有两解，②只有一解．D．①只有一解，②有两解．二、填空题11．在△ABC中，a，b分别是∠A和∠B所对的边，若a＝3，b＝1，∠B＝30°，则∠A的值是．12．在△ABC中，已知sinBsinC＝cos22A，则此三角形是__________三角形．13．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，求c的长度．14．△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足sinA∶sinB∶sinC＝2∶5∶6．若△ABC的面积为4393，则△ABC的周长为________________．16．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为．第3页共10页三、解答题17．在△ABC中，已知∠A＝30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a＝4＝33b，解此三角形．18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角．(第18题)第4页共10页19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcosC＝(2a－c)cosB，(Ⅰ)求∠B的大小；(Ⅱ)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：222cba＝CBAsinsin)(．第5页共10页参考答案一、选择题1．D解析：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋202－2×10×20cos120°＝700．AC＝107．2．B解析：由2cosAa＝2cosBb＝2cosCc及正弦定理，得2cossinAA＝2cossinBB＝2cossinCC，由2倍角的正弦公式得2sinA＝2sinB＝2sinC，∠A＝∠B＝∠C．3．C解析：由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得a2＋b2－c2＝ab．∴cosC＝abcba2222＝21．故C＝60°．4．D解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶3∶2．5．D解析：△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2不是钝角三角形，由)－(＝＝)－(＝＝)－(＝＝1121121122πsincossin2πsincossin2πsincossinCCCBBBAAA，得1212122π2π2πCCBBAA－＝－＝－＝，那么，A2＋B2＋C2＝23π－(A1＋B1＋C1)＝2π，与A2＋B2＋C2＝π矛盾．所以△A2B2C2是钝角三角形．6．C第6页共10页解析：由Aasin＝Bbsin，得sinA＝bBasin＝222232＝23，而b＜a，∴有两解，即∠A＝60°或∠A＝120°．7．A解析：由方程可得(sinA－sinC)x2＋2xsinB＋sinA＋sinC＝0．∵方程有两个不等的实根，∴4sin2B－4(sin2A－sin2C)＞0．由正弦定理Aasin＝Bbsin＝Ccsin，代入不等式中得b2－a2＋c2＞0，再由余弦定理，有2accosA＝b2＋c2－a2＞0．∴0＜∠A＜90°．8．B解析：由余弦定理得cosA＝21，从而sinA＝23，则AC边上的高BD＝233．9．A解析：由cbacba－＋－＋333＝c2a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2a3＋b3－c2(a＋b)＝0(a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0．∵a＋b＞0，∴a2＋b2－c2－ab＝0．(1)由余弦定理(1)式可化为a2＋b2－(a2＋b2－2abcosC)－ab＝0，得cosC＝21，∠C＝60°．由正弦定理Aasin＝Bbsin＝60sinc，得sinA＝ca60sin，sinB＝cb60sin，∴sinA·sinB＝2260sincab)(＝43，∴2cab＝1，ab＝c2．将ab＝c2代入(1)式得，a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，a＝b．△ABC是等边三角形．第7页共10页10．D解析：由正弦定理得sinA＝bBasin，①中sinA＝1，②中sinA＝935．分析后可知①有一解，∠A＝90°；②有两解，∠A可为锐角或钝角．二、填空题11．60°或120°．解析：由正弦定理Aasin＝Bbsin计算可得sinA＝23，∠A＝60°或120°．12．等腰．解析：由已知得2sinBsinC＝1＋cosA＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＝1－(cosBcosC－sinBsinC)，∴cos(B－C)＝1，得∠B＝∠C，∴此三角形是等腰三角形．13．21或61．解：∵S＝21absinC，∴sinC＝23，于是∠C＝60°或∠C＝120°．又c2＝a2＋b2－2abcosC，当∠C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝21；当∠C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝61．∴c的长度为21或61．14．10＋53．解析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，然后运用函数思想加以处理．∵2x2－3x－2＝0，∴x1＝2，x2＝－21．又cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，∴cosC＝－21．由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·(－21)＝(a＋b)2－ab，第8页共10页则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，当a＝5时，c最小，且c＝75＝53，此时a＋b＋c＝5＋5＋53＝10＋53，∴△ABC周长的最小值为10＋53．15．13．解析：由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝2∶5∶6，可得a∶b∶c＝2∶5∶6，于是可设a＝2k，b＝5k，c＝6k(k＞0)，由余弦定理可得cosB＝abcba2－＋222＝))((kkkkk62225－36＋4222＝85，∴sinB＝B2cos－1＝839．由面积公式S△ABC＝21acsinB，得21·(2k)·(6k)·839＝4393，∴k＝1，△ABC的周长为2k＋5k＋6k＝13k＝13．本题也可由三角形面积(海伦公式)得)6213)(5213)(2213(213kkkkkkk－－－＝4393，即4393k2＝4393，∴k＝1．∴a＋b＋c＝13k＝13．16．6∶5∶4．解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用．由正弦定理得ca＝CAsinsin＝CCsin2sin＝2cosC，即cosC＝ca2，由余弦定理cosC＝abcba2－＋222＝abbcaca2＋－＋2))((．∵a＋c＝2b，∴cosC＝abcabcab22＋＋－2)(＝acaca22＋＋－2)(，∴ca2＝acaca22＋＋－2)(．第9页共10页整理得2a2－5ac＋3c2＝0．解得a＝c或a＝23c．∵∠A＝2∠C，∴a＝c不成立，a＝23c∴b＝2ca＝223cc＝c45，∴a∶b∶c＝23c∶c45∶c＝6∶5∶4．故此三角形三边之比为6∶5∶4．三、解答题17．b＝43，c＝8，∠C＝90°，∠B＝60°或b＝43，c＝4，∠C＝30°，∠B＝120°．解：由正弦定理知Aasin＝Bbsin30sin4＝Bsin34sinB＝23，b＝43．∠B＝60°或∠B＝120°∠C＝90°或∠C＝30°c＝8或c＝4．18．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD＝，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于的三角函数等式，进而解出角．解：在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，∠ACB＝45°－15°＝30°．根据正弦定理有30sin100＝15sinBC，∴BC＝30sin15sin100．又在△BCD中，∵CD＝50，BC＝30sin15sin100，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋，根据正弦定理有45sin50＝)(＋90sin30sin15sin100．解得cos＝3－1，∴≈42.94°．∴山对于地平面的倾斜角约为42.94°．19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)．又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sinA≠0，∴2sinAcosB＝sinA，即cosB＝21，B＝3π．(第18题)第10页共10页(Ⅱ)∵b2＝7＝a2＋c2－2accosB，∴7＝a2＋c2－ac，又(a＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ac＝3，∴S△ABC＝21acsinB，即S△ABC＝21·3·23＝433．20．分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理．解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB得a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，∴2(a2－b2)＝－2bccosA＋2accosB，222－cba＝cBaAbcos＋cos－．由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴222－cba＝cBaAbcos＋cos－＝CABBAsincossin－cossin＝CBAsin－sin)(．故命题成立．