江苏省扬州市2017-2018学年高一下学期期末考试试题(数学)

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．求值:7575cossin▲．2．不等式022xx的解集是▲．3．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为cba,,，若30A,3a，则Ccsin=▲．4．已知变量,xy满足200xyxy，则zyx的最大值为▲．5．已知nS是数列{na}的前n项和，且满足),(*NnnnSn2则数列{na}通项公式na▲．6．函数()4sin3cos1fxxx的最大值为___▲____．7．在△ABC中，若432::sin:sin:sinCBA，则cosC的值为▲．8．已知数列{an}的通项公式为)12)(12(1nnan，则它的前20项的和为▲．9．已知正四棱柱的底面边长为cm2，侧面的对角线长是cm7，则这个正四棱柱的体积是▲3cm．10．设，为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若m，n，m∥，n∥，则∥；②若∥，l，则l∥；③若l⊥m，l⊥n，则m∥n；④若l⊥，l∥，则⊥.其中真命题的序号是▲．11．设nS,nT分别是等差数列na,nb的前n项和,已知121nnTSnn,*nN,则44ba▲．12．如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A、B两处观察山顶C的仰角分别是30和45，两个观察点A、B之间的距离是100米，则此山CD的高度为▲米.13．已知正实数,xy满足xyyx，则1213yyxx的最小值为▲．14．对于数列}{nx，若对任意*Nn，都有nnnnxxxx112成立，则称数列}{nx为“增差数列”.设nnnnta3132)(，若数列naaaa,,,,654（*,Nnn4）是“增差数列”，则实数t的取值范围是▲．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）如图,在正方体1111ABCDABCD中,棱1AA、1BB、1CC上的中点分别为P、Q、R.（1）求证：//PQ平面ABCD;（2）求证：平面PQR平面11BBDD.16．（本小题满分14分）.已知2cos()410，(0,)2．（1）求sin的值；（2）若31cos，(0,)，求cos(2)的值.17.（本小题满分15分）已知等比数列na的公比0q，2518aaa，且64283aa,,成等差数列.1求数列na的通项公式;2记2nnnba，求数列nb的前n项和nT.18.（本小题满分15分）设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，其外接圆的直径为1,2222sin2sinsinCbcAB，且角B为钝角.（1）求BA的值；（2）求222ac的取值范围．19．（本小题满分16分）共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润。现某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车。该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入61610元.设在每个省投放共享汽车的市的数量相同（假设每个省的市的数量足够多），每个市都投放1000辆共享汽车.由于各个市的多种因素的差异，在第n个市的每辆共享汽车的管理成本为(1000kn)元(其中k为常数)．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1920元.（本题中不考虑共享汽车本身的费用）注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用＋所有共享汽车的管理费用,平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车总数.（1）求k的值；（2）问要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？20．（本小题满分16分）已知数列{an}的前n项和为Sn,a4=2且nnSnna2,数列nb满足nnanb2210Nn,(1)证明：数列{an}为等差数列；(2)是否存在正整数p，q(1pq)，使得qpbbb,,1成等比数列，若存在，求出,pq的值；若不存在，请说明理由.答案一、填空题：1.412.),(213.234.25.n26.47.418.41209.3410.②④11.13812.5035013.62514.,152二、解答题：15．证明：（1）在正方体1111ABCDABCD中,11//AABB，∵P、Q分别为棱1AA、1BB的中点，∴//APBQ，∴四边形ABQP为平行四边形，∴//PQAB……3分∵//PQAB，PQ平面ABCD，AB平面ABCD，∴//PQ平面ABCD。……6分（2）在正方体1111ABCDABCD中,1BBAB，由(1)知//PQAB，∴1BBPQ。………………9分同理可得1BBQR.∵1BBPQ，1BBQR，PQQRQ，PQ平面PQR，QR平面PQR，∴1BB平面PQR。………………12分∵1BB平面PQR，1BB平面11BBDD，∴平面PQR平面11BBDD。………14分16.解：（1）3(0,),(,),2444又2cos()41072sin()410,……3分sinsin[()]4423[sin()cos()]2445.…………6分（2）34(0,),sin,cos,255.…………7分31cos，(0,)，22sin3，427sin2,cos299，…………………………11分cos(2)coscos2sinsin247342()59591222845.…………………………14分17．解：12518aaa，2428aaa，48a┄┄2分又64283aa,,成等差数列，56364aa，632a┄┄4分2644aqa，0q，2q┄┄6分41822nnna┄┄┄7分22122122nnnnnnbna1013211111123122222nnnTnn①012211111111231222222nnnTnn②┄┄10分①_x0001_-_x0002_-②：10121111111222222nnnTn┄12分112121112212nnnTn21822nnTn┄┄15分18．解（1）三角形ABC外接圆的直径为1，由2222sin2sinsinCbcAB得22222sinsinCbcaB…………………………3分22cos2sinsinCbcAB2cos2sinbcAbcB，cossinABsin()sin2AB………………………6分又因B为钝角，所以22A，所以2AB，所以2BA.…………………………8分（2）由（1）知，()(2)2022CABAA,所以(0,)4A……………………10分于是222ac=2222222sinsin2sinsin(2)sincos22ACAAAA，2224222132sin(12sin)4sin2sin14(sin).44AAAAA………13分因为(0,)4A，所以2sin(0,)2A，21sin(0,)2A，因此222ac的取值范围是3[,1)4…………15分19.解：（1）每个省在5个市投放共享汽车，则所有共享汽车为1010005辆，所有共享汽车管理费用总和为[(1000)(21000)(31000)(41000)(51000)]100010kkkkk(155000)10000(31000)50000kk，…………4分所以16000000+(31000)50000=19201010005k，解得200k。…………7分（2）设在每个省有*()nnN个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为()fn，由题设可知16000000+[(2001000)(4001000)+(2001000)]100010()=101000nfnn…10分所以()=fn160016001001100210011001900nnnn，………13分当且仅当1600100=nn，即4n时，等号成立．………15分答：每个省有4个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为1900元．………16分20.解(1)由已知得2Sn=nan－n①,故当n=1时，2S1=a1－1，即a1＝－1，…………1分又2Sn＋1=(n＋1)an＋1－(n＋1)②，②－①得2Sn＋1－2Sn=(n＋1)an＋1－nan－1，即(n－1)an＋1－nan－1=0③，………………………4分又nan＋2－(n＋1)an＋1－1=0④④－③得，nan＋2－2nan＋1＋nan=0，即an＋2＋an=2an＋1，所以数列{an}是等差数列.………………………6分(2)因为a1＝－1，a4=2，所以公差为1an＝－1＋(n－1)×1=n－2，所以nnnb210………………………8分假设正整数p，q(1pq)，使得qpbbb,,1成等比数列，即qpbbb12，可得qpqp22122，………………………9分021222pqpq2122pp又1122222212nnnnnn)(当2n时,nn22关于n递减,(同理当2n时,nn2关于n递减)………………12分当2p时,符合,此时212qq,易得2q,不满足pq……………………13分当3p时,符合,此时412qq,此时4q………………………14分当4p时,2128224pp,不符合………………………15分综上:存在43qp,符合.………………………16分