第3章---矩阵及其运算

第3章矩阵及其运算3.1基本要求、重点难点基本要求：1．1．掌握矩阵的定义.2．2．掌握矩阵的运算法则.3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法.4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法.5．5．掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵.6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法.重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等变换及线性方程组的解.难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法.3.2基本内容3.2.13.2.1重要定义定义3.1由nm个数)2,1;,2,1(njmiaij组成的m行n列的数表成为一个m行n列矩阵，记为mnmmnnaaaaaaaaa212222111211简记为Anmija)(，或A)(ija,nmA,mnA注意行列式与矩阵的区别：（1）（1）行列式是一个数，而矩阵是一个数表.（2）（2）行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相同.（3）（3）一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素.（4）（4）两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等.（5）（5）当0||A时，||1A有意义，而A1无意义.nm的矩阵叫做n阶方阵或m阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在运算中可看做一个数.对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵，又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n阶矩阵叫n阶单位矩阵，常记为nE（或nI），简记为E（或I），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为nm0，或简记为0.行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵.设有矩阵A=nmija)(，则Anmija)(称为A的负矩阵.若A是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A的行列式，记为||A或ADet.将矩阵A的行列式互换所得到的矩阵为A的转置矩阵，记为TA或A.若方阵A满足AAT，则称A为对称矩阵，若方阵A满足AAT，则称A为反对称矩阵.若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩阵为复矩阵，若A=nmija)(是复矩阵，则称矩阵nmija)(（其中ija为ija的共轭矩阵，记为Anmija)(.定义3.2对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得EBAAB，则称方阵A可逆，B称为A的逆矩阵，记做1AB.对于方阵Anmija)(，设ija的代数余子式为ijA，则矩阵*AnmnnnnAAAAAAAAA212221212111称为A的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置.定义3.3设有矩阵A，如果：（1）（1）在A中有一个r阶子式D不为零.（2）（2）A中任意1r阶子式（如果有的话）全为零，则称D是矩阵A的一个最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为R)(A.定义3.4初等变换与初等方阵：（1）（1）初等变换：变换矩阵的某两行（记为jirr）；把非零数k乘以矩阵的某行的所有元素（记为0,kkrj）；把矩阵的第i行的h倍加到第j行上（记为ijhrr）.以上为矩阵的三种类型的初等行变换，同样可以定义矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换、初等列变换统称为矩阵的初等变换.矩阵的初等行（列）变换皆可逆，且为同种类型的初等变换.例如：变换jirr的逆是其自身，变换jkr的逆变换为irk1变换ijhrr的逆变换为ijrhr)(.初等变换的性质：若矩阵A经有限次初等行（列）变换为B，则A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价.若矩阵A经有限次初等行（列）变换为B，则A的任意k个列（行）向量与B中对应的k个列（行）向量有相同的线形相关性.（2）（2）初等方阵：由单位矩阵经过一次初等变换而得的矩阵叫做初等矩阵，初等矩阵也叫初等方阵.初等方阵共分三种，它们是：Eji,，Eki，Eikj,.它们与单位矩阵的关系是：EEjirrji,，或EEjiccji,，EEikrki，或)],([kiEEikc0kEEjikrrikj,，或EEjikccikj,容易搞错的是第三组关系式，读者仔细些.初等矩阵皆可逆，且E1,ji=Eji,，E1ki=E11ki，Eikj,=Eikj,初等方阵的性质：若A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵t21P,,PP,，使t21,P,,PPA.nm矩阵A~B等价的充要条件是存在m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q，使BPAQ.3.2.23.2.2重要定理定理3.1对矩阵施行一次初等行（列）变换相对于左（右）乘一个同类型的初等矩阵.例如：若BAjirr，则Eji,BA；若BAjicc，则AEji,=B；若BAijkcc，则AEikj,=B；等等.定理3.2方阵A可逆的充分必要条件是：（1）0||A，且*A|A|1A1.（2）A可以表示成一些初等矩阵的乘积.若方阵A可逆，则A的逆阵唯一，可逆阵也叫做非奇异矩阵或称为满秩矩阵，否则称为奇异矩阵或降秩矩阵，非奇异矩阵经过初等变换后仍是非奇异的，奇异矩阵经过初等变换后仍是奇异的.n阶方阵A的秩RnA)(的充要条件是：0||A，即A可逆.任一可逆矩阵只用初等行（列）变换可化为单位矩阵.定理3.3对矩阵施以初等变换，不改变矩阵的秩.若矩阵A经有限次初等变换为B，则称A与B等价，记为A~B.若A~B，则RA=RB对任何nm矩阵A，可通过初等变换成阶梯形矩阵，进一步可化成行最简形矩阵，再通过初等列变换可化成一个即是行最简形又是列最简形的矩阵，即所谓的标准形，设矩阵A的秩RrA)(，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以000~rEA，其中rE是r阶单位矩阵.定理3.4（线性方程组有解的判定定理）（1）（1）非奇次线形方程组bxAnm有解的充要条件是RA=RA，当RA=RAn时，方程组有无穷多解；当是RA=RAn时，方程组有惟一解；当RARA时，方程组无解.（A为系数矩阵，~A为增广矩阵.）（2）（2）齐次线形方程组0xAnm一定有零解；如果RAn，则只有零解，它有非零解的充分必要条件是RAn.3.2.33.2.3主要运算1．1．矩阵的运算法则：（1）（1）加法法则：ABBA（加法满足交换律）；CB)(AC)(BA（加法满足结合律）；0A)(A；A0A；若CBA，则BCA（移项法则）.以上运算法则说明了矩阵相加、减的运算有类似于初等代数中相加、减的运算法则，矩阵相加、减是不难掌握的，只有注意矩阵间是否可以相加、减就可以了.（2）（2）数乘矩阵的运算法则：AABABAAAAAA)()(,)(,)(,1，其中,表示数，A、B表示同型矩阵.注意：0A，则0或0A；或0且0A，换句话说：若A是零矩阵，则数是0，矩阵A是零矩阵至少有一个成立.（3）（3）矩阵相乘的运算法则：CABAC)AAC,(BABC)A(B（矩阵乘法对加法满足分配律）；(AB)CA(BC)（矩阵乘法满足结合律）；)()()(ABBABA，（乘法满足数因子的结合律）.说明：1）1）左边矩阵A的列数必须与右边矩阵B的行数相等才能相乘.矩阵乘法不满足交换律，也就是说BAAB不一定成立，若BAAB成立的话，则称A，B可交换.2）2）显然有nmnmnmnmm,AEAAAEn，当A是方阵时，有nnnnnnnnAEAAE.这就是说单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在数的乘法中的作用.要注意：2)B(A2BAB是错误的，正确的写法应是2E)B(A2BAB，同样可知E)CA(BACABC.3）3）按矩阵乘法的定义，只有方阵才能自乘，故若A是n阶方阵，定义：kAAAAAA(,k1k2是整数）当,,0||A为整数时有AAAAA)(,由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n阶矩阵A与B，一般来说kkk)(BAAB.4）4）伴随矩阵的运算法则：***1**1****)(,)()(,)()(,||ABABAAAAEAAAAA5）5）方阵行列式的运算法则：|||||,||||||,|||AABAABAAnT其中A、B市同阶矩阵，是任一数，n是A的阶数.6）6）转置矩阵的运算法则：()(,)(TTTTTAABABA是任一数），AAABABTTTTT)(,)(.7）7）逆矩阵的运算法则：111)(ABAB；若A,0可逆，则TTAAAA)()(;1)(1111.8）8）共轭矩阵的运算法则：kAkkAAA(,是任一数），TTAABAABBABA)(,,.2．2．分块矩阵的运算:(1)(1)将一个矩阵用横线和纵线分成若干小块，以这些小块为元素的矩阵称为分块矩阵.(2)(2)分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则，只是进行运算的矩阵的分块要恰当.(3)(3)分块对角方阵.若方阵A的分块矩阵只有在主对角线上有非零方阵子快),,2,1(siAi，而其他子快都是零，即sAAAA0021则A称为分块对角方阵，分块对角方阵A的行列式||||||||21sAAAA.3.2.43.2.4重要方法本章研讨的是矩阵运算，因此凡矩阵定义、矩阵运算的定义、矩阵运算法则等等，都是重要的，应很好地掌握，只是有些较容易掌握，可少花时间和精力；有些较困难，应认真对待，多做练习，多思考，仔细钻研范例，注意每一个特殊点.1．1．矩阵的运算方法：（1）（1）以矩阵乘法为纲.矩阵运算有些是较简单的，如矩阵的线性运算、转置等，而矩阵相乘就较困难了，可以这样说，有关矩阵乘法的运算掌握好了，其他的矩阵运算也就不在话下.因此对初学者来说，遇到矩阵乘法，就应该多留心.（2）（2）边学习，边积累，逐步提高.这一章有很多定义（要重视定义！）、很多运算，每种运算又有若干条运算法则，一开始掌握不了那么多，应该学一点积累一点，直到全部掌握.例如：已知4321,2021BA，计算行列式|)3(|21BA.如果先算出A3，再算出1)3(A及2B，算出矩阵乘积21)3(BA，最后计算行列式；这样比较麻烦，而且易错，如果利用方阵则行列式的性质就简单多了.因2||,181)3(|,18||3|3|,2||12BAAAA，所以|)3(|21BA92|||)3(|21BA.2．2．化矩阵为行阶梯矩阵、行最简矩阵以及标准行的方法：一定要能熟练地用初等行变换化一个矩阵成为阶梯矩阵（或行最简行）矩阵，因为求逆矩阵、矩阵的秩、解线性方程组等都要用到这样的方法.3．3．求逆矩阵的方法：（1）（1）用定义求.用存在方阵B，使EBAAB，则1AB.此法要求对矩阵乘法比较熟练，对于元素比较特殊的矩阵，可直观看出满足条件的B（只要验证EAB或EBA一个即可）.（2）（2）用*1||1AAA，其中*A是A的伴随矩阵.要注意2阶矩阵求伴随矩阵的口诀：“主换位，副变号.”例如，设dcbaA，则acbdAAAA||||*111.（3）（3）初等变换法.因为