计数原理概率和统计的基本题型过关题

计数原理概率和统计的基本题型过关题题型一、分步和分类计数原理1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？(9种)②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？(24种)③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？(26种)2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；(70种）3.从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是；（23）4.A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形；(90)5.用六种不同颜色把下图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有种不同涂法；（480）6.同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种；（9）题型二、解排列组合问题的方法（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。1.用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数个；（156）2.某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为；（6）3.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)1.在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为（15）（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为；(2880）2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为（20）3.把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是；(144)（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。1.3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有（24）种2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为(30)（5）定序排列用除法1.书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有种不同的放法；（20）2.某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为。（42）3.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？（6）多元问题分类法1.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放.那么不同的实验方案共有种；（15）2.某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有36种；3.9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有种；（90）4.如果一个三位正整数形如“321aaa”满足2321aaaa且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为；（240）(7)选取问题先选后排法。1.某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是。（576）2.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.(240)3.一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种(192)（8）至多至少问题间接法。1.从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有种。(596)2.我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?（9）相同元素分组（指标分配）可采用隔板法。1.10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有种分发,每人至少两个,有种分发（36,21）2.某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有种.（84）3.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？（544213842/CCCA)4.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）5.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（90）(10)环排问题线排策略1.8人围桌而坐,共有多少种坐法?(!7)2.6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈(120)(11)多排问题直排策略1.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法2.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是(346)题型三、分组问题：要注意区分是有顺序分组还是无顺序分组，无顺序分成n组问题别忘除以n！1.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？(10)2.4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有种.（37440）题型四、二项式定理(1)通项:1rnrrrnTCab,二项式系数,常数项1.371(2)xx的展开式中常数项是；（14）2.在二项式11(1)x的展开式中，系数最小的项的系数为；（－462）3.在(1)nx的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则n＝（17,18或19）4.已知nxx)2(2的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为3:14，求展开式的常数项.(2)赋值法求值1.已知7270127(12)xaaxaxax，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017||||||aaa。2.已知33nxx展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于()Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．7题型五、古典概型1.设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：①215；②1021；③44125；④1021）题型五、几何概型1.在面积为102cm的ABC内任取一点P，求所得的ΔPBC面积小于52cm的概率。题型五、离散型随机变量1.互斥事件（加法原理）1有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：821）2甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）____.（答：0.51）3有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到10,1520,6nPnPnn，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是。（答：3263）2.独立事件1设两个独立事件A和B都不发生的概率为91,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______。（答：23）2袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________。（答：19）3.（理科）独立事件重复试例1小王通过英语听力测试的概率是31，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_______.（答：94）4．条件概率例1一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出一个白球的概率是（）（答：C）A.23B.14C.25D.15例2已知男人中有5℅患色盲，女人中0.25℅有患色盲．从100个男人和100个女人中任选一人，（1）求此人患色盲的概率；（2）若此人是色盲，求此人是男人的概率。（答：（1）21800，（2）2021）题型七、统计1.二项分布Enp其分布列为～),(pnB.（p为发生的概率）二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：()kknknPkCpq(其中pqnk1,,,1,0)2.正态分布（理科，需要了解）3.分布列（理科，重点）